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【BZOJ 2878】 [Noi2012]迷失游乐园

2024-08-09 12:48:04   221人阅读

2878: [Noi2012]迷失游乐园

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSec  Special Judge
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Description

放假了，小Z觉得呆在家里特别无聊，于是决定一个人去游乐园玩。进入游乐园后，小Z看了看游乐园的地图，发现可以将游乐园抽象成有n个景点、m条道路的无向连通图，且该图中至多有一个环（即m只可能等于n或者n-1）。小Z现在所在的大门也正好是一个景点。小Z不知道什么好玩，于是他决定，从当前位置出发，每次随机去一个和当前景点有道路相连的景点，并且同一个景点不去两次（包括起始景点）。贪玩的小Z会一直游玩，直到当前景点的相邻景点都已经访问过为止。小Z所有经过的景点按顺序构成一条非重复路径，他想知道这条路径的期望长度是多少？小Z把游乐园的抽象地图画下来带回了家，可是忘了标哪个点是大门，他只好假设每个景点都可能是大门（即每个景点作为起始点的概率是一样的）。同时，他每次在选择下一个景点时会等概率地随机选择一个还没去过的相邻景点。

Input


第一行是两个整数n和m，分别表示景点数和道路数。 接下来行，每行三个整数Xi, Yi, Wi，分别表示第i条路径的两个景点为Xi, Yi，路径长Wi。所有景点的编号从1至n，两个景点之间至多只有一条道路。

Output

 共一行，包含一个实数，即路径的期望长度。

Sample Input

4 3
1 2 3
2 3 1
3 4 4

Sample Output

6.00000000

【样例解释】样例数据中共有6条不同的路径: 路径 长度 概率
1-->4 8 1/4
2-->1 3 1/8
2-->4 5 1/8
3-->1 4 1/8
3-->4 4 1/8
4-->1 8 1/4
因此期望长度 = 8/4 + 3/8 + 5/8 + 4/8 + 4/8 + 8/4 = 6.00
【评分方法】本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.01时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。
【数据规模和约定】对于100%的数据，1 <= Wi <= 100。 测试点编号 n m 备注
1 n=10 m = n-1 保证图是链状
2 n=100 只有节点1的度数大于2
3 n=1000 /
4 n=100000 /
5 n=100000 /
6 n=10 m = n /
7 n=100 环中节点个数<=5
8 n=1000 环中节点个数<=10
9 n=100000 环中节点个数<=15
10 n=100000 环中节点个数<=20

HINT

Source

鸣谢Ljcc提供SPJ


树dp+基环树。


如果输入是一棵树的话(m=n-1)，用O(n)就可以解决：


1.首先随便选择一个点做根。


2.Dfs

si表示i的儿子结点；

f[i]表示i结点向儿子走的期望长度；

d[i]=sigma(f[si]+edge(si,i))；

du[i]表示i结点的度数，即儿子的个数+1（父亲）；

显然，f[i]=d[i]/(du[i]-1)。


我们做树形dp就可以把f[],d[],du[]数组都求出来。


3.Dfs2

那么接下来要求的是i结点走向任意一个叶子结点的期望长度，已经求了走向儿子的期望长度，还需求的是走向父亲的期望长度p[i]。


p[root]=f[root]。


接下来dfs，dfs(i)的时候他的父亲x的p[x]已经求出，那么：


d[i]+=(d[x]-y[i]-edge(x,i))/(du[x]-1)+edge(x,i)

p[i]=d[i]/du[i]。


一次dfs之后所有点的p[]就求出来了。



如果是m=n呢？


那么他是一棵基环树即这棵树中有且仅有一个环。


1.Findcir

先找到这个环。


2.Dfs

以环上的每一个点为根，做m=n-1时的第二步求出每个点的d[],f[]。


3.Calc

因为有环，所以环上每个结点的f[i]并不等于p[i]。


那么我们需要枚举环上的每个点，计算从这个点出发沿着环走的期望长度。


注意环上的点度数要加2。


4.Dfs2

此时环上每个点的d[i]/du[i]=p[i]，然后按照m=n-1时的第二步计算非环上的点的p[i]即可。




#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define M 100005
#define ld long double
using namespace std;
int fa[M],c[M],v[M],tot=0,n,m,du[M],now=0,h[M],root;
ld g[M],f[M],d[M],gg[M];
struct edge
{
	int y,ne,l;
}e[M*5];
void Addedge(int x,int y,int l)
{
	tot++;
	e[tot].y=y;
	e[tot].ne=h[x];
	e[tot].l=l;
	h[x]=tot;
}
void Dfs(int x)
{
	d[x]=f[x]=0.000;
	v[x]=1;
	du[x]=0;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
	{
		int y=e[i].y;
		if (v[y]||c[y]) continue;
		Dfs(y);
		du[x]++;
		d[x]=d[x]+f[y]+(ld)e[i].l;
	}
	if (du[x]) f[x]=d[x]/(ld)du[x];
	if (x!=root) du[x]++;
}
void Dfs2(int x)
{
	v[x]=1;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
	{
		int y=e[i].y;
		if (v[y]||c[y]) continue;
		int k=du[x]-1;
		if (!k) k++;
		d[y]=d[y]+(d[x]-f[y]-(ld)e[i].l)/(ld)(k)+(ld)e[i].l;
		Dfs2(y);
	}
}
void Findcir(int x)
{
	v[x]=++now;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
	{
		int y=e[i].y;
		if (!v[y])
		{
			fa[y]=x;
			Findcir(y);
		}
		else if (y!=fa[x]&&v[y]<v[x])
		{
			c[y]=1;
			while (x!=y)
			{
				c[x]=1;
				x=fa[x];
			}
			return;
		}
	}
}
void Calc(int x,int fa)
{
	bool last=true;
	g[x]=0.000;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
	{
		int y=e[i].y;
		if (y!=root&&y!=fa&&c[y])
		{
			last=false;
			Calc(y,x);
			g[x]=g[x]+g[y]+(ld)e[i].l;
		}
	}
	int k=du[x];
	if (!k) k++;
	if (last) g[x]=d[x]/(ld)k;
	else 
	{
		k=du[x]+1;
		if (x!=root)
			g[x]=(g[x]+d[x])/(ld)k;
		else 
		{
			return;
		}
	}
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,l;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
		Addedge(x,y,l);
		Addedge(y,x,l);
	}
	if (n==m+1)
	{
		root=1;
		Dfs(1);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			v[i]=0;
		Dfs2(1);
	}
	else
	{
		Findcir(1);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			v[i]=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (c[i]) root=i,Dfs(i);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (c[i]) root=i,Calc(i,0),gg[i]=g[i];
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (c[i]) du[i]+=2,d[i]+=gg[i];
		for (int i=1;i<=n;i++)
			v[i]=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (c[i]) Dfs2(i);
	}
	double ans=0.000;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans=ans+d[i]/(ld)du[i];
	printf("%.5lf\n",ans/(double)n);
	return 0;
}

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感悟：

1.RE:是在Findcir中对v[]数组没有区分，找过的赋值为1，那么在找环的时候就会出错：找到环后并不会立刻退出子程序而是继续找，那么就会又找到刚刚找过的那个环，然后就永远出不去了。。

后来WA了好几次（找了半天才找到问题）：

在Calc中直接更新了d[x]，那么在计算其他环上的点时，应该用的是未被更新的d[x]！！！所以结果就偏大了。。


2.对于基环树问题，一般环上的点数不会很多，所以我们可以考虑枚举环上的每一个点来做~



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