作者：桂。

时间：2017-03-09  21:15:34

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【读书笔记01】

前言

一、随机过程与确定过程

对于一个火车，下一时刻的轨迹已经由铁轨确定了；而对于一个行人，下一刻的落脚点却有各种可能。

简单来说，下一时刻确定的，是确定过程；不确定的，是随机过程。

给一张示意图：

信号x是一个随机分布，下一刻的值有各种可能；而信号y是一个确定过程，下一刻的值由$y = sin(t)$唯一确定。

既然有各种可能，为什么还要研究随机过程呢？再来一个示意图：

将随机信号x进行直方图统计，通过曲线拟合可以看到：x对应的每一时刻的值都服从正态分布，我们或许可以说：下一时刻，信号x取3的概率大于x取9的概率。由此我们可以相信：对于随机的数据，直方图统计也会包含有价值的信息，so~继续研究它。

二、常用基本概念

　　A-均值

给出均值的定义式：

$E[x(t)] = \int_{\; - \infty }^{\; + \infty } {x{f_X}(x\;;t)} dx$

即对于给定时刻t，假设所有的可能都给定了，我们不需要像上一张图那样，需要对不同时刻t进行统计，而是直接对t时刻所有可能值统计，得到分布直方图。利用分布的密度函数，从而实现均值的估计。

现实情况是：我们无法得到同一时刻的所有可能，怎么解决这个尴尬？接着往下看。

　　B-方差

假设$\mu (t)$是t时刻的均值，则对应的方差定义为：

$D[x(t)] = \int_{\; - \infty }^{\; + \infty } {{{(x - \mu (t))}^2}{f_X}(x\;;t)} dx$

求解同均值类似，尴尬也是。

　　C-分布函数与概率密度

直接对t时刻所有可能值统计，得到分布直方图，直方图面积归一化，对应的曲线就是概率密度$f(x;t)$,$f(x;t)$关于x的积分就是分布函数$F(x;t)$。

三、不相关与独立性

给一个示意图：

信号A、B、C、D是四个不同的随机信号：

• • 当信号A增加时，信号B也在增加，A、B的变化趋势完全一致，可以说A与B正相关；
  • 当信号A增加时，信号C在减小，A、C的变化趋势完全相反，可以说A与B负相关；
  • 当信号A增加时，信号D可能增加，也可能减小，A、D的变化趋势似乎无关，可以说A与B不相关；

给出定义式：

关于相关的细节讨论，可以参考知乎的答案。

从定义式也可以观察：此处的相关是线性相关，而不是统计相关。因此即使不相关，也不过是线性不相关罢了，说的简单点：A、B两信号不相关，则A的取值变化，不对B的取值产生影响。

给一个示意图：

可见A取值的增加/减小，与B的增加/减小，无关。即：A、B的线性变化趋势无关；但A的取值对B的取值分布，存在影响。独立则一定线性不相关，线性不相关，不一定独立。

四、平稳性与遍历性

参考：

滤波器专题——随机过程基础