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CH Round #55 - Streaming #6 (NOIP模拟赛day2)解题报告
T1九九归一
描述
萌蛋在练习模n意义下的乘法时发现，总有一些数，在自乘若干次以后，会变成1。例如n=7，那么5×5 mod 7=4,4×5 mod 7=6,6×5 mod 7=2,2×5 mod 7=3,3×5 mod 7=1。如果继续乘下去，就会陷入循环当中。
萌蛋还发现，这个循环的长度经常会是φ(n)，即小于n且与n互质的正整数的个数。例如，φ(7)=6，而上述循环的长度也是6，因为5,4,6,2,3,1共有6个数。
再如n=6，那么5×5 mod 6=1。这个循环的长度很短，只有2，而恰好φ(6)=2。
然而，对于某些情况，虽然循环的长度可以是φ(n)，但存在比φ(n)更小的长度：例如n=7，而2×2 mod 7=4,4×2 mod 7=1，循环的长度只有3。当然，6也可以是一个循环的长度。
假设已知了n，我们称数a神奇的，当且仅当关于数a的循环长度可以是φ(n)，而且不存在比φ(n)更小长度的循环。例如对于n=7，5是神奇的，而2不是神奇的。
现在给出n和q次询问，每次询问给出a，问a是否是神奇的。
输入格式
第一行两个整数n q。n≤10,000,000,q≤100,000,0≤a<n。
第二行有q个整数，每个表示一个a。
输出格式
输出q个字符，1表示这个数是神奇的，0表示这个数不是神奇的。
样例输入
7 35 2 0样例输出
100
首先我们用O(sqrt(n))的时间求出fai(n)，然后对于每一个数a，进行一次快速幂算出afai(n)Mod n是否为1，不为1则直接输出0即可。
题目中已经告知循环的长度必定为fai(n)的因数，那么我们事先用sqrt(n)的时间求出fai(n)的所有因数，那么一个数的因数是log(n)级别的，于是对于每一个因数进行快速幂判断是否神奇，总复杂度loglogn
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cmath> 6 #include <algorithm> 7 #include <queue> 8 #include <stack> 9 #include <map>10 #include <set>11 #include <list>12 #include <vector>13 #include <ctime>14 #include <iterator>15 #include <functional>16 #define pritnf printf17 #define scafn scanf18 #define For(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);(i)++)19 using namespace std;20 typedef long long LL;21 typedef unsigned int Uint; 22 const int INF=0x7ffffff;23 //==============struct declaration==============24 25 //==============var declaration=================26 LL bound;27 vector <LL> fact;28 int siz;29 //==============function declaration============30 int fai(LL x);31 int gcd(LL a,LL b){return a%b==0?b:gcd(b,a%b);}32 bool loop(LL x,LL Mod);33 void divide(LL x);34 LL quickpow(int x,int Exp,LL Mod);35 //==============main code=======================36 int main()37 { 38 LL Mod,q;39 scanf("%lld%lld",&Mod,&q);40 bound=fai(Mod);divide(bound);41 while (q--){42 LL query;43 scanf("%lld",&query);44 if (gcd(query,Mod)!=1)//可以证明如果不互质是不可能循环的45 //此处用quickpow亦可，时间复杂度均为log(n)46 putchar(‘0‘);47 else if (loop(query,Mod))48 putchar(‘1‘);49 else 50 putchar(‘0‘);51 }52 return 0;53 }54 //================fuction code====================55 int fai(LL x)//欧拉函数56 {57 LL res=x;58 LL m=sqrt(x+0.5);59 for(LL i=2;i<=m;i++){60 if (x%i==0){61 res=res/i*(i-1);62 while (x%i==0)63 x/=i;64 }65 } 66 if (x!=1)67 res=res/x*(x-1);68 return res;69 }70 bool loop(LL x,LL Mod)//判断是否神奇71 {72 for(int i=0;i<=siz;i++)73 if (quickpow(x,fact[i],Mod)==1)74 return false;75 return true;76 }77 void divide(LL x)//分解因数78 {79 int m=sqrt(x+0.5);80 For(i,2,m)81 if (x%i==0){82 fact.push_back(i);83 fact.push_back(x/i);84 }85 sort(fact.begin(),fact.end());86 siz=fact.size()-1;87 }88 LL quickpow(int x,int Exp,LL Mod)//快速幂89 {90 if (Exp==0)91 return 1;92 if (Exp==1)93 return x;94 LL t=quickpow(x,Exp/2,Mod);95 t=(t*t)%Mod;96 if (Exp&1)97 t=(t*x)%Mod;98 return t;99 }
T2 LCA的统计
描述
萌蛋有一棵n个节点的有根树，其根节点为1。除此之外，节点i的父节点为p_i。每个点上都有一个权值，节点i的权值是w_i。
萌蛋知道你一定知道什么叫做祖先（从根到某个点的路径上的每个点都是这个点的祖先，包括它本身），也一定知道什么叫做最近公共祖先（两个点的最近公共祖先是某个点，这个点同时是两个点的祖先，且离根最远）。
现在给出这棵树，你需要求出：
其中LCA(i,j)表示点i与点j的最近公共祖先。
由于答案可能很大，你只需要输出它对1,000,000,007取模的结果。
输入格式
第一行为两个整数n w_1。1≤n≤100,000,0≤w_i≤1,000,000,000,1≤p_i<i
第二行到第n行，第i行有两个整数p_i w_i。
输出格式
输出只有一行，为一个整数，表示所求答案对1,000,000,007取模的结果。
样例输入
2 21 1样例输出
17怎么说呢。这道题我其实考试的时候想了很久，没有想到什么好的算法，我的算法是O(n*deg2)其中deg表示这个树的度。那么针对这个复杂度应该是很容易TLE的。但是由于题目数据淼，还是AC了。
然后我发现标程也是用的这个办法。。。虽然不严谨，但是还是给出思路（记Si为以i为祖先点的所有点的W和（包括i节点本身））
对于每一个节点k，统计以它为LCA的节点，分为三部分：
一、i=j=k ans+=wk*wk*wk
二、i=k,j是i的孩子 ans+=2*(wk*wk*(Sk-Wk))
应该没有问题吧由于i,j可以互换，所以*2
三、i,j分别位于k的两个不同的子树中
我们先来看只有两个子节点的情况（圈圈内数字是节点编号）
对于1号节点进行统计i,j分别在左右子树的情况
w1*w2w3 w1*w2w6 w1*w2w7
w1*w4w3 w1*w4w6 w1*w4w7
w1*w5w3 w1*w5w7 w1*w5w7
以上加起来就是：
w1*(w2+w4+w5)(w3+w6+w7)=w1*S2*S3
最后*2，因为i,j可以调换
三叉、四叉直到n叉数都可以对每两个子树进行分别统计。
然后。。做完了吧。。记得对1,000,000,007取模就行
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cmath> 6 #include <algorithm> 7 #include <queue> 8 #include <stack> 9 #include <map>10 #include <set>11 #include <list>12 #include <vector>13 #include <ctime>14 #include <iterator>15 #include <functional>16 #define pritnf printf17 #define scafn scanf18 #define For(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);(i)++)19 using namespace std;20 typedef long long LL;21 typedef unsigned int Uint; 22 const int INF=0x7ffffff;23 //==============struct declaration==============24 25 //==============var declaration=================26 const int MAXN=100010;27 const int MOD=1000000007;28 vector <int> Edge[MAXN];29 LL w[MAXN],S[MAXN],res=0;30 int n;31 //==============function declaration============32 void Count(int x);//计算以x为LCA的答案33 //==============main code=======================34 int main()35 { 36 scanf("%d%lld",&n,&w[1]);37 For(i,2,n){38 int pa;39 scanf("%d%lld",&pa,&w[i]);40 Edge[pa].push_back(i);41 }42 Count(1);43 printf("%lld\n",res%MOD);44 return 0;45 } 46 //================fuction code====================47 void Count(int x)48 {49 res=(res+(((w[x]*w[x])%MOD)*w[x])%MOD)%MOD;//情况150 S[x]=w[x];51 int siz=Edge[x].size()-1;52 For(i,0,siz){53 Count(Edge[x][i]);//对子节点递归处理54 res=(res+((w[x]*w[x])%MOD*(S[Edge[x][i]]*2)%MOD)%MOD)%MOD;//情况255 S[x]=(S[x]+S[Edge[x][i]])%MOD;//累加S值56 }57 For(i,0,siz)58 For(j,i+1,siz)59 res=(res+((((w[x]*S[Edge[x][i]])%MOD*S[Edge[x][j]])%MOD)*2)%MOD)%MOD;//情况360 return;61 }
T3 四驱兄弟
描述
如果你和萌蛋一样，也看过《四驱兄弟》，你或许会记得，有一局比赛十分特别，只按照5个人中的第4名计算成绩。
现在我们将问题扩展一下：一共有n个队员，只按照其中的第k名计算成绩。而赛车的规则也有所不同：一共有m个赛车，每个赛车装配着2个GP晶片的终端，且第i个赛车预期到达终点的时间为a_i。（注：不同赛车上的终端可以对应着相同的GP晶片，但不会2个都相同；任何赛车上的2个终端对应的GP晶片都是不同的）
比赛开始时，n个队员依次选择自己的赛车。对于每个队员，他可以选择开启GP晶片功能或不开启。如果开启，那么2个终端对应的GP晶片就会建立连接，且这个赛车的比赛用时就是预期时间a_i；如果不开启，那么GP晶片不会建立连接，但是这个赛车的比赛用时将会非常长（可以认为是无穷）。甚至，他可以放弃比赛，这样他不会占用任何赛车，但是当然比赛用时也会被认为是无穷。
任何时候，一旦存在若干个（至少3个）晶片A,B,C,…,X满足：A与B建立了连接，B与C建立了连接，……，X与A建立了连接（即形成了循环连接的情况），那么处理系统就会崩溃。这是非常可怕的，我们宁可让比赛用时变为无穷也不能让系统崩溃。
现在给出队员和赛车的信息，请输出最优情况下的成绩（即第k小的比赛时间的最小值）。为了增大难度，k并不是给出的，而是你需要对于1≤k≤n的所有的k输出答案。
输入格式
第一行为两个整数n m。
接下来m行，每行描述了一个赛车，格式为空格隔开的一个整数和两个字符串，分别是a_i和它的两个终端对应的GP晶片名。
输出格式
n行，每行一个整数，第i行表示i=k时的答案。特别地，如果答案是无穷，输出INF。
样例输入
3 395 GP_1 GP_2100 GP_1 gp@3100 gp@3 GP_2样例输出
95100INF数据范围与约定
对于20%的数据，n,m≤3，GP晶片名称的长度均为1。
对于40%的数据，n,m≤6，GP晶片名称的长度均为1。
对于60%的数据，n,m≤1,000，GP晶片的长度不会超过3。
对于100%的数据，0<n,m≤100,000，0<a_i≤1,000,000,000，GP晶片的名称只包含大小写字母、数字、“@” 、“_”共64种字符且长度不会超过5且非空。
样例解释
以下是一种最优方案（方案可能不唯一）：
首先，3人各自选择了1辆赛车。（都没有放弃参赛）
如果k=1，那么让赛车1开启GP晶片，其余不开启，此时3个赛车的比赛时间分别为95，INF，INF，第1名的成绩是95。
如果k=2，那么让赛车2和3开启GP晶片，而赛车1不开启，此时3个赛车的比赛时间分别为100，100，INF，第2名的成绩是100。
如果k=3，那么由于3辆赛车不可能都开启GP晶片（因为假设都开启，那么3个GP晶片会出现循环连接的情况，这是不允许的），所以总有赛车没有开启GP晶片，那么第3名的成绩一定是INF。
iostream害人啊！！本来可以AK的就是因为cin超时了。。。最后一题只有80分。我还写了ios::sync_with_stdio(false)都超时。。等等测试一下不开有多少分。
很简单的一个模型。将一辆赛车看成一条边，连接两个不同的芯片，边长为速度，那么这一题就改成了选n条边，使得图中不出现环，且对于k∈[1,n]来说，第k大的边最小。
那么。。最小生成树。。
证明自行搜索克鲁斯卡尔算法的证明，基本类似。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cmath> 6 #include <algorithm> 7 #include <queue> 8 #include <stack> 9 #include <map>10 #include <set>11 #include <list>12 #include <vector>13 #include <ctime>14 #include <iterator>15 #include <functional>16 #define pritnf printf17 #define scafn scanf18 #define For(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);(i)++)19 using namespace std;20 typedef long long LL;21 typedef unsigned int Uint; 22 const int INF=0x7ffffff;23 //==============struct declaration==============24 struct adj{25 int s,e,len;26 bool operator <(const adj &rhs)const {27 return len<rhs.len;28 }29 };30 //==============var declaration=================31 map <string,int> id;32 const int MAXN=100010;33 adj Edge[MAXN];34 int n,m,tot=0;35 int root[MAXN*2];36 //==============function declaration============37 int findr(int x){return root[x]==x?x:root[x]=findr(root[x]);}38 //==============main code=======================39 int main()40 { 41 id.clear();42 scanf("%d%d",&n,&m); 43 For(i,1,m){44 char str1[20],str2[20];45 string str;46 scanf("%d%s%s",&Edge[i].len,str1,str2);47 str=string(str1);48 if (id[str]==0)49 id[str]=++tot;50 Edge[i].s=id[str];51 str=string(str2);52 if (id[str]==0)53 id[str]=++tot;54 Edge[i].e=id[str];55 }56 sort(Edge+1,Edge+1+m);57 For(i,1,tot)58 root[i]=i;59 for(int i=1;i<=m&&n>0;i++){60 adj &e=Edge[i];61 if (findr(e.s)!=findr(e.e)){62 printf("%d\n",e.len);63 n--;64 root[findr(e.s)]=findr(e.e);65 } 66 }67 while (n--)68 printf("INF\n");69 return 0;70 }71 //================fuction code====================
CH Round #55 - Streaming #6 (NOIP模拟赛day2)解题报告