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1.5 快速找出机器故障

题目:假设一个机器只存储一个标号为ID的记录,假设每份数据保存2个备份,这样就有2个机器存储了相同的数据。其中ID是小于10亿的整数。

问题1、在某个时间,如果得到一个数据文件ID的列表。是否能够快速的找到这个表中仅出现一次的ID?即快速找出出现故障的机器存储的数据ID。

问题2、如果有两台机器死机呢?(假设同一个数据的俩个备份不会同时丢失,即列表中缺少的是两个不等的ID)

扩展题、如果所有的机子都有三个备份,也就是说同一ID的机子有三台。而且同时又有三台机子死机,还能用上面的方法解决吗?

如果有N台备份,又同时有N台机器死机呢?

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问题重新阐述:

问题1、已知一个数组,数组中只有一个数据是出现一遍的,其他数据都是出现两遍,我们要把这个数据找出来

问题2、已知一个数组,数组中有两个不同的数据都出现一遍,其他数据都是出现两遍,我们要把这两个数据找出来

问题3、已知一个数组,数组丢失了三个数据,我们要把这三个数据找出来

              之后可以扩展到N个

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问题1、已知一个数组,数组中只有一个数据是出现一遍的,其他数据都是出现两遍,我们要把这个数据找出来

方法一、使用计数排序(借助map)

思想:遍历整个ID列表,使用Map记录每个ID出现的次数。之后,只出现一次的ID为所求

时间复杂度O(N),空间复杂度O(N)

注:不用map,而用数组的话,空间复杂度会大于N(N表示有N个数),应该是10亿(ID的最大值可能为10亿)

缺点:空间复杂度太大,对已经出现过两次的ID仍要保存,但它已经不可能是出故障的机器了

方法二、仍使用计数排序,但是对已经出现过两次的ID不在存储

思想:遍历列表,对于每一个ID,先检查hash表中是否有与之相同的ID

     若有,则从Hash表中删除该ID

      否则,将该ID加入到hash表中。

      这样,遍历完列表后,hash表中剩下的那一个元素即为所求ID

时间复杂度O(N),空间复杂度最好为O(1),最坏为O(N)

方法三、利用异或运算(推荐使用)

思想:将列表中的所有ID异或,之后得到的值即为所求ID

利用异或运算可以得到

 X^X=0   X^Y=Z  X^0=X

时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)。在时间和空间上,基本已经达到最优。

缺点:前提是只有一个ID出现一次,若出现多次,则不适合

方法四、利用 "不变量" (推荐使用)

思路:这里,所有ID的和为一个不变量,对现在剩下ID求和。所有ID的和与剩下ID的和之差即为所求ID。

时间复杂度:O(N)时间,空间复杂度O(1)

总结:使用异或 和 不变量 都已经很优化。均能在只遍历一次列表,只需一个变量的条件下解决。

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问题2、已知一个数组,数组中有两个不同的数据都出现一遍,其他数据都是出现两遍,我们要把这两个数据找出来

题里面是丢失的是两个不同的数据,我们这里两种情况都考虑下

如果缺少的两个数字不相同,

方法:进行异或操作

思路:由于缺少的数不同,则最后异或的结果不为0。

  1. (1)对数组中所有的ID进行异或,结果为a  
  2. (2)我们找到a的二进制表示中,最低一位为1的位置b  
  3. (3)根据b位是否为1,将ID数组中的数分为两个数组,其中一个数组中的b位为1,另一个队列中的b位为0。  
  4. (注意,每个数组中,除了那个只出现一次的数外,其他数都是出现两次的,此时就可以在数组内使用异或操作)  
  5. (4)然后对两个数组,分别进行异或操作,则将得到两个不为0的数字。即为所丢失的两个ID。 

如果缺少的两个数字相同

(此时数组中所有ID都是成对出现,异或值还是为0,不能使用异或实现)

方法:可以使用不变量实现。丢失两个,生成两个方程,联立求值

  1. 1)首先计算出初始未丢失之前,所有ID之和。  
  2. (2)然后计算出丢失之后的ID之和,然后(1)(2)结果进行相减操作,得到方程x+ y = a。  
  3. (3)利用丢失前后平方和之差,来与(2)进行联立,得到方程x * x + y * y = b。  
  4. (4)对两方程进行联立,即可以求出最终的结果。  

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问题3、已知一个数组,数组丢失了三个数据,我们要把这三个数据找出来

              之后可以扩展到N个

方法一:我们需要建立三/N个方程,求出这些都是的数

此时,当方程为N时,要求N个方程可不好求

方法二:使用计数排序 + 计数值达到A时Map不在存储

这时,最终可以得到这几个数

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