题目描述

　　关心数据挖掘和搜索引擎的程序员都知道，我们需要很多的计算机来存储和处理海量数据。

　　然而，计算机难免出现硬件故障而导致网络联系失败或死机。为了保证搜索引擎的服务质量，我们需要保证每份数据都有多个备份。

　　简单起见，假设每个机器存储一个标号为ID的记录（ID是小于十亿的整数），假设每份数据都保存两个备份，这样就有两个机器储存了同样的数据。

　　1.在某个时间，如果得到一个数据文件ID的列表，是否能够快速地找出这个表中仅出现一次的ID？

　　2.如果已经知道只有一台机器死机（也就是说只有一个备份丢失）呢？如果有两台机器死机呢（假设同一个数据的两个备份不会同时丢失）？

问题分析

　　这个题目肯定要考虑大量数据的处理，即需要重点考虑效率问题。

　　首先，ID是小于十亿的整数，这说明用一个long型（4个字节）可以表示ID，不会超出表示范围，所以这点不用担心。

　　根据题目特点，得到ID列表后，可以考虑一种像是玩扑克牌游戏的做法，找一个数组来盛放遍历的数（想象成摸牌），找到成对的就丢弃（或者你也可以把这个配对过程想象成连连看）。

　　最后将所有数字遍历完之后还留下的就是单独的ID。

　　这样时间复杂度是O(n * n)，因为需要摸n张牌，并且每摸一张牌都需要和手中的牌进行查询配对。

　　下面是书中的解法，看完之后才知道我的解法真是弱爆了，为什么没想到哈希表呢。

解法一

　　直接遍历列表，利用一个数组记录下每个ID出现的次数，遍历完毕之后，出现次数小于2的ID就是我们想要的结果。

　　假设有N个ID，且ID的取值在0~N-1之间，这个解法占用的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)。

　　时间复杂度已经相当理想，但是空间复杂度不够理想，如果ID的数量多达几个G甚至几十G，这样的空间复杂度在实际的运算中就会带来效率问题。

解法二

　　考虑到大部分ID的出现次数都等于2，这些ID的信息并不是必要的，所以不必存储。

　　因此，可以把解法一数组中等于2的元素清空，然后用来存储下一个机器ID的出现次数，这样就可以减少需要的空间。

　　具体方法如下：遍历列表，利用哈希表记下每个ID出现的次数，每次遇见一个新的ID，就向哈希表中增加一个元素；如果这个ID出现的次数为2，那么就从哈希表中删除这个元素，最后剩下的ID就是我们想要的结果。

　　这个算法的空间复杂度在最好情况下可以达到O(1)，在最坏的情况下仍然是O(N)。

解法三

　　对于第一问，假设列表中仅有一个ID出现了一次，那么可以考虑用异或关系来帮忙找到结果。

　　因为异或运算的定义是相同为假相异为真，异或运算满足交换律和结合律。

　　所以，所有ID的异或值就等于这个仅出现一次的ID。（两两相同的都得到0，0和任何值异或等于原来的任何值）

　　这种情况下，时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

　　对于第二问，由于有两个ID仅出现了一次，设它们为A和B，那么所有ID异或的结果是A异或B，但还是无法确定A和B的值。

　　可以进行分类讨论：

　　（1）A == B

　　这时A异或B等于零，丢失的是同一份数据的两个拷贝，可以通过求和的方法求得A和B，即，所有ID值的和减去所有正常的ID之和，除以2得到A和B。

这种方法需要在系统初始化时计算所有的完整的数据的和sum(原始数据)并保存，发生丢失后，计算sum(当前数据)，则:

                                                                       A=B=(sum(原始数据)-sum(当前数据))/2

　　（2）A !=B

　　这时A异或B不等于零，那么这个异或值的二进制位中某一位为1，此时A和B中有且仅有一个数的相同位上也为1。

　　我们就把所有的ID分成两类，一类在这位上为1，另一类在这位上为0。A和B分别位于这两类中。

　　我们分别计算这两类的异或和，即可得到A和B的值。问题分解成了两个解法三的第一问情况（卧槽，太巧妙了！！）

解法四

　　对于第一问，缺失一个ID：

　　预先计算并保存好所有ID的求和（“不变量”），顺序列举当前所有剩下的ID，对它们求和，然后用所有ID的求和减去当前剩下所有ID的和，结果就是死机的机器的ID值。

　　时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)，和解法三一样是计算复杂度最优的算法。

　　对于第二问，我们考虑所有的情况，即两个ID可以相同也可以不同。

　　用上面的方法可以得到这两个ID的和。我们构造出一个方程: x + y = a; a已知。

　　第二个方程有很多构造方法，比如可以用所有ID的乘积计算出另一个不变量，除以所有剩下的ID，结果得到两台死机机器的ID的乘积，即x * y = b。

　　这样联立两个方程之后，可以解出x和y的值。

　　时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

　　第二个方程构造也可以考虑平方和的方法（使用乘积作为不变量，有可能在实际应用中出现算数溢出问题）。

扩展问题