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Dollar Dayz 【完全背包+高精度】

2024-09-10 22:41:52   218人阅读

Farmer John goes to Dollar Days at The Cow Store and discovers an unlimited number of tools on sale. During his first visit, the tools are selling variously for $1, $2, and $3. Farmer John has exactly $5 to spend. He can buy 5 tools at $1 each or 1 tool at $3 and an additional 1 tool at $2. Of course, there are other combinations for a total of 5 different ways FJ can spend all his money on tools. Here they are: 

        1 @ US$3 + 1 @ US$2

        1 @ US$3 + 2 @ US$1

        1 @ US$2 + 3 @ US$1

        2 @ US$2 + 1 @ US$1

        5 @ US$1
Write a program than will compute the number of ways FJ can spend N dollars (1 <= N <= 1000) at The Cow Store for tools on sale with a cost of $1..$K (1 <= K <= 100).
Input
A single line with two space-separated integers: N and K.
Output
A single line with a single integer that is the number of unique ways FJ can spend his money.
Sample Input 
5 3
Sample Output 
5

来源： https://vjudge.net/problem/description/9920
 
题意：有n元钱，商品的价格在1~k元（每种价格的商品数量无限），用n元去买这些商品，最多有多少种选择？
 
题解：
根据完全背包思想，第一个循环表示商品价值（i），第二个循环表示我的本钱（j）。
得出方程：dp[j] = dp[j] + dp[j-i]
  • dp[j]表示当商品价格最大为 i 时，我用 j 元买这些商品的选择数。
  • dp[j-i]就是根据背包问题的二进制思想来计数当有 i （当前 i 和之前算过的 i）的倍数元时的商品选择数。
 
当然，题目肯定不会那么简单，n范围是1000，k范围是100，会超出long long，所以我们可以把dp拆成两个数组，一个存储高位数，一个存低位数，最后拼接输出。
 
核心部分：
  1. a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF;
  2. b[j]=(b[j]+b[j-i])%INF;
我们用a来存高位，用b来存低位（19位数之前），也就是说在19位数之前，a一直都是0，当超过19位数时，a才有能值。
 
也许这部分a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF有些难理解，它和状态方程不太一样。其实并不是把超出部分直接赋予a即可，我们还不能忘记要记录超出部分的状态。
 
如下：
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#define ll __int64  
ll INF=1000000000000000000;  
ll a[1010];//高位   
ll b[1010];//低位   
int main()  
{  
    int n,k,i,j;  
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)  
    {  
        memset(a,0,sizeof(a));  
        memset(b,0,sizeof(b));  
        b[0]=1;  
        for(i=1;i<=k;++i)  
        {  
            for(j=i;j<=n;++j)  
            {  
                a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF;  
                b[j]=(b[j]+b[j-i])%INF;  
            }  
        }  
        if(a[n]==0)  
            printf("%I64d\n",b[n]);  
        else  
            printf("%I64d%018I64d\n",a[n],b[n]);  
    }  
    return 0;  
}

　　

 
 

Dollar Dayz 【完全背包+高精度】


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