我见过最棒的证明是文氏图：
（首先要知道二元布尔代数是集合的特殊情况，所以把X和Y当作两个集合，结论成立，那么在二元布尔代数里面也成立。）

左边的圈是X，右边的圈是Y。
如果是OR 也就是取或，中间的白色的也要填成红色的。
但是，异或 的英文名字叫做exclusive-or ,意思是除掉了（中间部分）的or。

接下来就是玩拼图游戏啦：

X | Y：


x&Y：



X～：

X～ & Y：

详见：

http://www.zhihu.com/question/20224242

x^y=(x&~y)|(~x&y)证明