超大背包问题：有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.

这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。不过，看完数据范围会发现，这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。

挑选物品的方案总共有2^n种，所以不能直接枚举，但是如果将物品分成两半再枚举的话，由于每部分最多只有20个，这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1，这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。

因此，我们要思考从枚举得到的（w2，v2）集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W‘}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] ≤ w2[j] 并且 v2[i] >= v2[j]的j。这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要计算max{v2|w2 <= W‘}的话，只要寻找满足w2[i] <= W‘的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2)，所以这个算法总的时间复杂度是O(n * 2^(n/2))，可以在实现内解决问题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50;
const long long INF = 0x3fffffff;
typedef long long LL;
int n;
LL w[N], v[N];
LL W;
pair <LL, LL> pi[1 << (N / 2)];

void solve() {
    int n2 = n / 2;
    for(int i = 0; i < (1 << n2); i++) {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for(int j = 0; j < n2; j++) {
            if((i >> j) & 1) {
                sw += w[j];
                sv += v[j];
            }
        }
        pi[i] = make_pair(sw, sv);
    }

    sort(pi, pi + (1 << n2));
    int m = 1;
    for(int i = 1; i < (1 << n2); i++) {
        if(pi[m-1].second < pi[i].second) {
            pi[m++] = pi[i];
        }
    }

    LL res = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << (n - n2)); i++) {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for(int j = 0; j < n - n2; j++) {
            if((i >> j) & 1) {
                sw += w[n2 + j];
                sv += v[n2 + j];
            }
        }
        if(sw <= W) {
            LL tv = (lower_bound(pi, pi + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;
            res = max(res, sv + tv);
        }
    }
    printf("%lld\n", res);
}

int main() {
    while(~scanf("%d%lld", &n, &W)) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);
        }
        solve();
    }
    return 0;
}

超大背包问题（01背包）