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NYOJ 1091 超大01背包(折半枚举)
这道题乍一看是普通的01背包，最最基础的，但是仔细一看数据，发现普通的根本没法做，仔细观察数组发现n比较小，利用这个特点将它划分为前半部分和后半部分这样就好了，当时在网上找题解，找不到，后来在挑战程序设计上找到了这个题，就拿来引用一下
挑选物品的方法总从2^n中，直接枚举肯定不行，因为n最大为40，但是如果n为20就可以了，这时候就要用到折半枚举，先枚举前一半，在枚举后一半。先把前把部分的选取方法对应的重量和价值总和记为w1, v1,这样后半部分寻找w2 <= W - w1时 使v2最大的选取方法就好了。
因此，我们要思考从枚举得到的(w2, v2)的集合中高效寻找max{v2|w2<=W‘}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] <= w2[j]并且v2[i] >= v2[j] 的 j。 这一点可以按照w2,v2的字典序排列后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] , v2[i] < v2[j], 要计算max{v2|w2<=W‘}的话，只要寻找满足w2[i]<=W‘的最大的i就可以了。这可以利用二分搜索完成。剩余的元素个数为M的话，一次搜索要用log(M)的时间，可以解决
代码如下：
方法一(折半枚举):
1 2 #include <iostream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstdio> 5 #define Max(a,b) a>b?a:b 6 #define INF 10000000000000000 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 const int MAX = 40;10 LL weight[MAX], value[MAX];11 LL W;12 pair<LL, LL> ps[1 << (MAX / 2)];13 int n;14 void slove()15 {16 //枚举前半部分 17 int n2 = n / 2;18 for (int i = 0; i < 1 << n2; i++)//前半部分的枚举总数为 2^(n/2); 19 {20 LL sw = 0, sv = 0;21 //每种结果选取特定的价值和重量(i.e 一共2个东西，就一共四种情况，都不选，选第一个，选第二个，都选) 22 for (int j = 0; j < n2; j++)23 {24 if (i >> j & 1)25 {26 sw += weight[j];27 sv += value[j];28 }29 }30 ps[i] = make_pair(sw, sv);//加入到ps数组中 31 }32 //对ps排序 33 sort(ps, ps + (1 << n2));34 //ps 去重 35 int m = 1;36 for (int i = 1; i < 1 << n2; i++)37 if (ps[m - 1].second < ps[i].second)38 ps[m++] = ps[i];39 LL res = 0;//保存结果 40 //枚举后半部分， 并且找到最优解 41 for (int i = 0; i < 1 << (n - n2); i++)//同样枚举的总个数 42 {43 LL sw = 0, sv = 0;44 for (int j = 0; j < n - n2; j++)//和前半部分的一样 45 {46 if (i >> j & 1)47 {48 sw += weight[n2 + j];49 sv += value[n2 + j];50 }51 }52 if (sw <= W)//加个判断求解最大价值，只有小于背包容量的时候 53 {54 LL tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;//找到前半部分对应的value 55 res = Max(res, sv + tv); 56 }57 }58 printf("%lld\n", res);59 }60 61 int main()62 {63 while (~scanf("%d %lld", &n, &W))64 {65 for (int i = 0; i < n; i++)66 scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);67 slove();68 }69 return 0;70 }71
这个题也可以用搜做来做，搜索反而来的更快，因为n比较小
方法二(搜索):
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define Max(a, b) a > b ? a : b 4 const int MAX = 45; 5 long long weight[MAX], value[MAX], sw[MAX], sv[MAX]; 6 long long W, n, ans; 7 //i表示当前取到第n-i个，cnt 表示当前的总value， w当前背包剩余的空间 8 void dfs(int i, long long cnt, long long w) 9 {10 if (i == 0)//取到最后 11 {12 ans = Max(ans, cnt);13 return;14 }15 if (w == 0 || cnt + sv[i] < ans)//背包满或者当前总的加上这个前i个的总价值小于当前的总value，这步是剪枝 16 return ;17 if (w >= sw[i])//因为是从上往下找的，所以只要当前容量能装下前i个的和，所以这时一定是最大的 18 {19 cnt += sv[i];20 ans = Max(ans, cnt);21 w = 0;22 return ; 23 }24 if (w > weight[i])//深搜两种状态 25 dfs(i - 1, cnt + value[i], w - weight[i]);//相当于01背包中的两种状态 26 dfs(i - 1, cnt, w);27 } 28 int main()29 {30 while (~scanf("%d %lld", &n, &W))31 {32 memset(sw, 0, sizeof(weight));33 memset(sv, 0, sizeof(value));34 ans = 0;35 for (int i = 1; i <= n; i++)36 {37 scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);38 sw[i] = sw[i - 1] + weight[i];39 sv[i] = sv[i - 1] + value[i];40 }41 dfs(n, 0, W);42 printf("%lld\n", ans);43 }44 45 return 0;46 }
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