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01背包问题和完全背包问题
在hihocoder上面的题目中看到的这个问题,总结一下。先看01背包问题。
01背包问题:一个背包总容量为V,现在有N个物品,第i个 物品体积为weight[i],价值为value[i],现在往背包里面装东西,怎么装能使背包的内物品价值最大?
看到这个问题,可能会想到贪心算法,但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题,要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解,这样就不用重复解决子问题了。
动态规划先找出子问题,我们可以这样考虑:在物品比较少,背包容量比较小时怎么解决?用一个数组f[i][j]表示,在只有i个物品,容量为j的情况下背包问题的最优解,那么当物品种类变大为i+1时,最优解是什么?第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包(这也就是0和1),假设放进背包(前提是放得下),那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1];如果不放进背包,那么f[i+1][j]=f[i][j]。
这就得出了状态转移方程:
f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。
可以写出代码测试:
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[10][V];//全局变量,自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]); } else f[i][j]=f[i-1][j]; } cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解 }
在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出,在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j],没有使用其他子问题,因此在存储子问题的解时,只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决,一个存储子问题,一个存储正在解决的子问题。
再进一步思考,计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j],没有使用f[i-1][j+1]这样的话,我们先计算j的循环时,让j=M……1,只使用一个一维数组即可。
for i=1……N
for j=M……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[V];//全局变量,自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=M; j>=1; j--) { if (weight[i]<=j) { f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]); } } cout<<f[M]<<endl;//输出最优解 }
在看完01背包问题,再来看完全背包问题:一个背包总容量为V,现在有N个物品,第i个 物品体积为weight[i],价值为value[i],每个物品都有无限多件,现在往背包里面装东西,怎么装能使背包的内物品价值最大?
对比一下,看到的区别是,完全背包问题中,物品有无限多件。往背包里面添加物品时,只要当前背包没装满,可以一直添加。那么状态转移方程为:
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]+k*value[i+1]),其中0<=k<=V/weight[i+1]
使用内存为一维数组,伪代码
for i=1……N
for j=1……M
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题(i-1种物品)的基础上来解决当前问题(i种物品),向i-1种物品时的背包添加第i种物品;而完全背包问题是在解决当前问题(i种物品),向i种物品时的背包添加第i种物品。代码如下:
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[V];//全局变量,自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]); } } cout<<f[M]<<endl;//输出最优解 }
01背包问题和完全背包问题