非退化双线性型是一个很有用的概念，它可以把一个空间中的问题 "镜像" 地映射到其对偶空间中去，并在这个对偶空间中得到解决。这里简要介绍非退化双线性型的基本知识。本文主要参考了 Curtis 的书 "Linear Algebra: An introductory approach"，原书写的非常的 down to earth，不厌其烦的叙述证明细节，很适合初学者自学。这里采用的叙述要简练一些，如果文中出现了 "显然"、"不难验证" 等等用语，那就表示这部分的推理确实很简单，不再具体赘述了。但是我想特别提醒的是，虽然对写书的人来说他对这些基础的性质已经非常习惯以至于懒得再一条条验证，但是对初次阅读这部分内容的人，还是建议逐条验证一下，这是学习过程中没法偷懒的部分。

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什么是非退化双线性型？

设 $V,W$ 是域 $F$ 上的有限维向量空间，映射 $B(v,w):V\times W\rightarrow F$ 称作是一个双线性函数，如果它对每个分量都是线性的：

\[\begin{align*}B(a_1v_1+a_2v_2,w)&=a_1B(v_1,w)+a_2B(v_2,w),\\B(v,a_1w_1+a_2w_2)&=a_1B(v,w_1)+a_2B(v,w_2).\end{align*}\]

如果双线性函数 $B$ 满足下面的条件：

1. 若 $v\in V$ 使得对任何 $w\in W$ 有 $B(v,w)=0$ 则 $v=0$.

2. 若 $w\in W$ 使得对任何 $v\in W$ 有 $B(v,w)=0$ 则 $w=0$.

这时就称 $B$ 为非退化的双线性函数，简称非退化双线性型。

现在假设 $B(v,w):V\times W\rightarrow F$ 是一个非退化双线性型，对给定的 $v\in V$，可以定义一个 $W$ 上的线性泛函 $\varphi_v$：
\[ \varphi_v(w)=B(v,w).\]
映射 $v\rightarrow\varphi_v$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的对偶空间 $W^\ast$ 的映射，此映射显然是线性的，而且很容易验证是单射，从而 $\dim V\leq \dim W^\ast$。同理线性映射
\[ w\rightarrow\phi_w: \phi_w(v) =B(v,w)\]
是从 $W$ 到 $V^\ast$ 的单射，因此 $\dim W\leq \dim V^\ast$。由于任何有限维向量空间和它的对偶空间维数相同，因此综合两个不等式就得到了 $\dim V=\dim W$，而且 $v\rightarrow\varphi_v$ 是从 $V$ 到 $W^\ast$ 的线性同构，$w\rightarrow\phi_w$ 是从 $W$ 到 $V^\ast$ 的线性同构。

总结一下：如果存在 $V\times W\rightarrow F$ 的非退化双线性型 $B$，则 $\dim V=\dim W$，而且 $V$ 和 $W$ 可以借助于 $B$ 同构地映射为对方的对偶空间，这时我们称 $V$ 和 $W$ 关于 $B$ 互为对偶空间。

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零化子

设 $V_1\subset V$ 是 $V$ 的子空间，定义其关于 $B$ 的零化子 $V_1^\bot\subset W$ 为
\[V_1^{\bot}=\{w\in W\ |\ B(v,w)=0, \ \forall v\in V_1 \}.\]类似地对 $W$ 的子空间 $W_1$ 可以定义其零化子 $W_1^\bot\subset V$ 为
\[W_1^{\bot}=\{v\in V\ |\ B(v,w)=0, \ \forall w\in W_1\}.\]由于 $B$ 的双线性性，不难验证 $V_1^\bot,W_1^\bot$ 都是子空间。

定义双线性函数 $B_1:V_1\times W/V_1^\bot\rightarrow F$ 为
\[ B_1(v_1,[w])=B(v_1,w),\quad v_1\in V_1, w\in W.\]
不难验证 $B_1$ 的定义是合理的（不依赖于商空间代表元的选取），同时也是非退化的，从而我们得到
\[ \dim V_1=\dim W/V_1^\bot =\dim W-\dim V_1^\bot.\]

接下来是个很有用的结论：如果 $V=V_1\oplus V_2$ 是子空间的直和，则 $W$ 也分解对对应的零化子的直和：$W=V_1^\bot\oplus V_2^\bot$（证明是平凡的）。

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伴随变换

定义：设 $A:V\rightarrow V$ 是一个线性变换，定义 $A$（关于双线性型 $B$）的伴随变换 $A^\ast: W\rightarrow W$ 为满足如下等式的唯一的线性变换：\[ B(Av,w)=B(v,A^\ast w)\quad v\in V,w\in W.\]

这个一句话的定义固然很爽快，但是问题是满足要求的 $A^\ast$ 存在吗？存在的话唯一吗？下面来解决这两个问题。

设 $\text{End}(W)$ 是 $W$ 上全体线性变换组成的空间，$\text{Bil}(V,W)$ 是 $V\times W$ 上全体双线性函数组成的向量空间。

对任意 $f\in\text{End}(W)$，定义 $V\times W$ 上的双线性函数 $B_f$ 为 $B_f=B(v,fw)$。映射 $f\rightarrow B_f$ 明显是线性的，而且利用 $B$ 的非退化性可见这是一个单射，于是 $f\rightarrow B_f$ 是一个从 $\text{End}(W)$ 到 $\text{Bil}(V,W)$ 的线性单射。然而 $\text{End}(W)$ 和 $\text{Bil}(V,W)$ 的维数相同，都是 $\dim V\times \dim W$，从而这是线性同构。因此 $\text{Bil}(V,W)$ 中任何元素都形如 $B(v,fw)$，其中 $f\in\text{End}(W)$ 是唯一确定的。特别地对双线性型 $B(Av,w)$ 应用此结论可知存在唯一的 $A^\ast\in\text{End}(W)$ 使得 $B(Av,w)=B(v,A^\ast w)$ 成立，这就证明了结论。

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限制 VS 诱导

现在假设 $A$ 是 $V$ 上的线性变换，子空间 $V_1$ 是 $A$ 的不变子空间，容易验证这时 $V_1^\bot$ 是 $A^\ast$ 的不变子空间，于是我们可以考虑 $A$ 在 $V_1$ 上的限制 $A_1=A|_{V_1}$，以及 $A^\ast$ 在商空间 $W/V_1^\bot$ 上的诱导 $\widetilde{A^\ast}$。

定理：$A_1$ 和 $\widetilde{A^\ast}$ 关于双线性型 $B_1(v_1,[w])=B(v_1,w)$ 互为伴随变换：

\[B_1(A_1 v_1, [w])=B_1(v_1,\widetilde{A^\ast}[w]),\quad v_1\in V_1, [w]\in W/V_1^\bot.\]

这是一个非常重要的结论，也是代数学中一个重要而普遍的结论 Frobenius 互反律的雏形。

证明：根据诱导变换的定义，$\widetilde{A^\ast}[w]=[A^\ast w]$，因此

\[B_1(v_1,\widetilde{A^\ast}[w])=B_1(v_1,[A^\ast w])=B(v_1,A^\ast w)=B(Av_1,w)=B_1(A_1v_1,[w]).\]

好了，到此为止我们作一个总结：在已经介绍的非退化双线性型的理论中，处处都展现了高度的对称性：$V$ 和 $W$ 互为对偶空间；零化子建立了 $V$ 的子空间与 $W$ 的子空间（甚至子空间直和分解）的一一对应；$V$ 上的线性变换与 $W$ 上的线性变换的一一对应；限制与诱导的对应。这种高度的对称性非常适合把 $V$ 中的问题转移到对偶空间 $W$ 中去。下面就是这一思想的一个精彩应用。

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有理标准形的简洁证明

这一段将给出有理标准形定理的一个非常简洁的证明。这个证明过程可以看做是非退化双线性型的 "典型用法"。

对每个向量 $v\in V$，定义它的阶为 $m_v(x)\in F[x]$，这里 $m_v(x)$ 是使得 $m_v(A)v=0$ 的次数最低的首一多项式。任何使得 $g(A)v=0$ 的多项式 $g(x)$ 都是 $m_v(x)$ 的倍式。

定理：设 $A$ 是域 $F$ 上的有限维向量空间 $V$ 上的线性变换，则 $V$ 中存在一组非零的向量 $\{v_1,\ldots,v_r\}$，它们的阶都是 $F[x]$ 中素多项式的幂 $\{p_1(x)^{e_1},\ldots,p_r(x)^{e_r}\}$，而且 $V$ 是循环子空间 $\{\langle v_i\rangle,1\leq i\leq r\}$ 的直和：

\[V=\langle v_1\rangle\oplus\langle v_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle v_r\rangle.\]

这个分解方式在下面的意义下是唯一确定的：如果

\[V=\langle w_1\rangle\oplus\langle w_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle v_s\rangle.\]

是另一种分解为循环子空间的方式，$\{w_1,\ldots,w_s\}$ 的阶也都是素多项式的幂 $\{q_1(x)^{f_1},\ldots,q_s(x)^{f_s}\}$，则 $r=s$ 且两个集合

\[\{p_1(x)^{e_1},\ldots,p_r(x)^{e_r}\}\quad\text{和}\quad\{q_1(x)^{f_1},\ldots,q_s(x)^{f_s}\}\]

只相差一个重排。

证明： 所有证明有理标准形定理的第一步都是利用准素分解，只要对 $A$ 的极小多项式 $m_A(x)=p(x)^a$ 是一个素多项式的幂的情形证明即可。

我们断言这时必然有一个 $v\in V$ 的阶恰好是 $p(x)^a$。否则任何 $v$ 的阶都是 $p(x)^a$ 的因子但又不等于 $p(x)^a$，那么就都是 $p(x)^{a-1}$ 的因子，从而 $p(A)^{a-1}=0$，与 $A$ 的极小多项式是 $p(x)^a$ 矛盾。

所以取 $v_1$ 使得 $v_1$ 的阶为 $p(x)^a$，则 $v_1$ 生成一个循环子空间 $\langle v_1\rangle$。如果 $\langle v_1\rangle\ne V$，我们断言可以找到一个 $A-$ 不变子空间 $W$ 使得

\[ V= \langle v_1\rangle\oplus W.\]

这样就可以对 $W$ 继续这个操作，最终把 $V$ 分解为一些循环子空间的直和。

考虑 $V\times V^\ast\rightarrow F$ 的非退化双线性型

\[ (v,f)\rightarrow f(v),\quad v\in V,f\in V^\ast.\]

设 $A^\ast$ 为 $A$ 的伴随变换：$(Av,f)=(v,A^\ast f)$，则对任何多项式 $g(x)\in F[x]$ 有 $(g(A)v,f)=(v,g(A^\ast)f)$，由此可见 $A$ 和 $A^\ast$ 有相同的极小多项式。

证明想法是这样的：现在我们还不知道在 $V$ 中是否有分解 $V=\langle v_1\rangle\oplus W$存在，但是我们知道在 $V^\ast$ 中 $\langle v_1\rangle^\bot$ 是 $A^\ast-$ 不变子空间，如果能在 $V^\ast$ 中给 $\langle v_1\rangle^\bot$ 找到不变子空间 $W_1$ 使得 $V^\ast=\langle v_1\rangle^\bot\oplus W_1$ 的话，那么返回 $V$ 中去就有 $V=\langle v_1\rangle\oplus W_1^\bot$，$W_1^\bot$ 就是我们要找的补空间！

设 $\langle v_1\rangle^\bot$ 为 $\langle v_1\rangle$ 在 $V^\ast$ 中的零化子，则 $\langle v_1\rangle^\bot$ 是 $A^\ast$ 的不变子空间，从而 $A^\ast$ 在 $V^\ast/\langle v_1\rangle^\bot$ 上有诱导变换 $\widetilde{A^\ast}$。我们已经知道 $A$ 在 $\langle v_1\rangle$ 上的限制 $A_1$ 与 $\widetilde{A^\ast}$ 在 $V^\ast/\langle v_1\rangle^\bot$ 上的作用是一对伴随变换，因此 $\widetilde{A^\ast}$ 在 $V^\ast/\langle v_1\rangle^\bot$ 上的极小多项式也是 $p(x)^a$，从而存在 $[f]\in V^\ast/\langle v_1\rangle^\bot$ 使得 $[f]$ 的阶是 $p(x)^a$。

令 $W_1$ 为 $\{f,A^\ast f,\ldots,(A^\ast)^{d-1}f\}$ 在 $V^\ast$ 中张成的子空间，其中 $d=\deg p(x)^a$。显然 $W_1$ 是一个 $A^\ast-$ 不变子空间，其维数是 $d$，而且 $W_1\cap \langle v_1\rangle^\bot=0$。

现在 $\dim\langle v_1\rangle^\bot=\dim V^\ast-d$，因此

\[ V^\ast = \langle v_1\rangle^\bot \oplus W_1,\]

这是一个 $V^\ast$ 的 $A^\ast-$ 不变子空间直和分解，回到 $V$ 中去：

\[ V=\langle v_1\rangle\oplus (W_1)^\bot.\]

这样就得到了想要的 $A-$ 不变子空间直和分解。

非退化双线性型