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最小生成树计数（matrix tree矩阵树定理）

2024-09-12 11:00:49   221人阅读

Matrix-Tree 定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于 1847 年被Kirchhoff 证明。 在介绍定理之前， 我们首先明确几个概念： 

1、 G 的度数矩阵 D[G]是一个 n*n 的矩阵， 并且满足： 当 i≠j 时,dij=0；当 i=j时， dij 等于 vi 的度数。

2、 G 的邻接矩阵 A[G]也是一个 n*n 的矩阵， 并且满足： 如果 vi、 vj 之间有边直接相连，则 aij=1，否则为 0。 

我们定义 G 的 Kirchhoff 矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]为 C[G]=D[G]-A[G]，则 Matrix-Tree 定理可以描述为：

　　G 的所有不同的生成树的个数等于其 Kirchhoff矩阵 C[G]任何一个 n-1 阶主子式的行列式的绝对值。

　　　　所谓 n-1 阶主子式，就是对于 r(1≤r≤n)，将 C[G]的第 r 行、第 r 列同时去掉后得到的新矩阵，用 Cr[G]表示。 

证明略

 

[HEOI2015] 小z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

 

 

建模后跑基尔霍夫行列式即可，注意减法取模问题。

 1 const mo=1000000000;
 2 var
 3     n,m,i,j,tot,cnt                            :longint;
 4     map                                        :array[0..10,0..10] of char;
 5     num                                        :array[0..10,0..10] of longint;
 6     con                                        :array[0..105,0..105] of longint;
 7     g                                        :array[0..105,0..105] of int64;
 8     
 9 procedure swap(var x,y:int64);
10 var
11     z                                        :int64;
12 begin
13     z:=x;
14     x:=y;
15     y:=z;
16 end;
17     
18 function det():int64;
19 var
20     i,j,k                                    :longint;
21     ret,tt                                    :int64;
22 begin
23     for i:=1 to tot do
24     for j:=1 to tot do g[i,j]:=(g[i,j]+mo) mod mo;
25     ret:=1;
26     for i:=2 to tot do
27     begin
28         for j:=i+1 to tot do
29         begin
30             while g[j,i]<>0 do
31             begin
32                 tt:=g[i,i] div g[j,i];
33                 for k:=i to tot do g[i,k]:=((g[i,k]-(tt*g[j,k]) mod mo)+mo) mod mo;
34                 for k:=i to tot do swap(g[i,k],g[j,k]);
35                 ret:=-ret;
36             end;
37         end;
38         if g[i,i]=0 then exit(0);
39         ret:=(ret*g[i,i]) mod mo;
40     end;
41     exit((ret+mo)mod mo)
42 end;
43     
44 begin
45     readln(n,m);
46     for i:=1 to n do
47     begin
48         for j:=1 to m do read(map[i,j]);
49         readln;
50     end;
51     for i:=1 to n do
52     for j:=1 to m do 
53     begin
54         if map[i,j]=‘*‘ then continue;
55         inc(tot);
56         num[i,j]:=tot;
57     end;
58     for i:=1 to n do
59     for j:=1 to m do
60     begin
61         if map[i,j]=‘*‘ then continue;
62         if (i>1) and (map[i-1,j]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i-1,j]]:=1;
63         if (i<n) and (map[i+1,j]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i+1,j]]:=1;
64         if (j>1) and (map[i,j-1]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i,j-1]]:=1;
65         if (j<m) and (map[i,j+1]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i,j+1]]:=1;
66     end;
67     for i:=1 to tot do
68     begin
69         cnt:=0;
70         for j:=1 to tot do
71         begin
72             if i=j then continue;
73             if (con[i,j]=1) then
74             begin
75                 inc(cnt);
76                 g[i,j]:=-1;
77             end;
78         end;
79         g[i,i]:=cnt;
80     end;
81     writeln(det());
82 end.

 

最小生成树计数（matrix tree矩阵树定理）


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