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最小生成树
/*
1.一个有n个顶点的连通图的生成树是原图的极小连通图，它包含原图中的所有n个顶点，并且具有保持图连通的最小的边。
显然有如下推论:
a.若删除生成树中的一条边，就会使该生成树因变成非连通图而不再满足生成树的定义；
b.若在生成树中增加一条边，就会使该生成树因存在回路而不再满足生成树的定义。
c.一个连通图的生成树可能有许多，使用不同寻找方法可以得到不同的生成树。
2.对于有n个顶点的无向图，无论它的生成树的形状如何，一定有n个顶点，有且只有n-1条边
3.如果无向连通图是一个带权图，那么它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，
我们称这棵生成树为最小代价生成树，简称为最小生成树。
4.构造有n个顶点的无向连通带权图的最小生成树必须满足以下三个要求：
a.构造的最小生成树必须包括n个顶点；
b.构造的最小生成树中有且只有n-1条边
c.构造的最小生成树中部存在回路
5.构造最小生成树的典型方法有2种：一种称作普里姆（Prim）算法，一种称作克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
6.普里姆算法思想：
假设G=(V,E)为一个带权图，其中V为带权图中顶点的集合，E为带权图中边的权值机会。
设置两个新的集合U和T，其中U用于存放带权图G的最小生成树的顶点的机会，T用于存放带权图G的最小生成树
的权值的集合。
普里姆算法的思想是：令集合U的初值为U={u0},即假设构造最小生成树时从顶点u0开始，集合T的初值为T={}。
从所有顶点u属于U和顶点v属于V-U的带权边中，选出具有最小权值的边(u,v),将顶点v加入集合U中，将边(u,v)
加入集合T中。如此不断重复，当U=V时，最小生成树构造完毕。此时，集合U中存放着最小生成树顶点的集合，集合T中存放着最小
生成树边的权值的集合。
7.克鲁斯卡尔算法：
设无向连通带权图G=(V,E),其中V为顶点集合，E为边的集合。克鲁斯卡尔算法的思想是：
设带权图G的最小生成树T由顶点集合和边的集合构成，其初值为T=(V,{}),即初始时最小生成树T只有带权图G中的顶点集合组成，
各顶点之间没有一条边。这样，最小生成树T中的各个顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值递增的顺序考察带权图G中
的边集合E中的各条边，若被考察的边的两个顶点属于T的2个不同的连通分量，则将此边加入到最小生成树T中，同时把两个连通分量连接
为一个连通分量；若被考察的边的两个顶点属于T的同一个连通分量，则将此边舍去，当T中的连通分量个数为1时，T中的该连通分量即为带权图
G的一棵最小生成树。
克鲁斯卡尔算法主要包括2个部分：首先是带权图G中e条边的权值的排序，其次是判断选取的边的2个顶点是否属于同一个连通分量。
8.克鲁斯卡尔算法的时间复杂主要由排序方法决定，而克鲁斯卡尔算法的排序算法只与边的个数有关，与图顶点的个数无关。当使用时间复杂度为
O(elbe)的排序算法时，克鲁斯卡尔算法得时间复杂度即为O(elbe)。因此，当带权图的顶点个数较多，而边的个数较少时，使用克鲁斯卡尔算法
构造最小生成树的时间效率较好。
1.一个有n个顶点的连通图的生成树是原图的极小连通图，它包含原图中的所有n个顶点，并且具有保持图连通的最小的边。
显然有如下推论:
a.若删除生成树中的一条边，就会使该生成树因变成非连通图而不再满足生成树的定义；
b.若在生成树中增加一条边，就会使该生成树因存在回路而不再满足生成树的定义。
c.一个连通图的生成树可能有许多，使用不同寻找方法可以得到不同的生成树。
2.对于有n个顶点的无向图，无论它的生成树的形状如何，一定有n个顶点，有且只有n-1条边
3.如果无向连通图是一个带权图，那么它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，
我们称这棵生成树为最小代价生成树，简称为最小生成树。
4.构造有n个顶点的无向连通带权图的最小生成树必须满足以下三个要求：
a.构造的最小生成树必须包括n个顶点；
b.构造的最小生成树中有且只有n-1条边
c.构造的最小生成树中部存在回路
5.构造最小生成树的典型方法有2种：一种称作普里姆（Prim）算法，一种称作克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
6.普里姆算法思想：
假设G=(V,E)为一个带权图，其中V为带权图中顶点的集合，E为带权图中边的权值机会。
设置两个新的集合U和T，其中U用于存放带权图G的最小生成树的顶点的机会，T用于存放带权图G的最小生成树
的权值的集合。
普里姆算法的思想是：令集合U的初值为U={u0},即假设构造最小生成树时从顶点u0开始，集合T的初值为T={}。
从所有顶点u属于U和顶点v属于V-U的带权边中，选出具有最小权值的边(u,v),将顶点v加入集合U中，将边(u,v)
加入集合T中。如此不断重复，当U=V时，最小生成树构造完毕。此时，集合U中存放着最小生成树顶点的集合，集合T中存放着最小
生成树边的权值的集合。
7.克鲁斯卡尔算法：
设无向连通带权图G=(V,E),其中V为顶点集合，E为边的集合。克鲁斯卡尔算法的思想是：
设带权图G的最小生成树T由顶点集合和边的集合构成，其初值为T=(V,{}),即初始时最小生成树T只有带权图G中的顶点集合组成，
各顶点之间没有一条边。这样，最小生成树T中的各个顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值递增的顺序考察带权图G中
的边集合E中的各条边，若被考察的边的两个顶点属于T的2个不同的连通分量，则将此边加入到最小生成树T中，同时把两个连通分量连接
为一个连通分量；若被考察的边的两个顶点属于T的同一个连通分量，则将此边舍去，当T中的连通分量个数为1时，T中的该连通分量即为带权图
G的一棵最小生成树。
克鲁斯卡尔算法主要包括2个部分：首先是带权图G中e条边的权值的排序，其次是判断选取的边的2个顶点是否属于同一个连通分量。
8.克鲁斯卡尔算法的时间复杂主要由排序方法决定，而克鲁斯卡尔算法的排序算法只与边的个数有关，与图顶点的个数无关。当使用时间复杂度为
O(elbe)的排序算法时，克鲁斯卡尔算法得时间复杂度即为O(elbe)。因此，当带权图的顶点个数较多，而边的个数较少时，使用克鲁斯卡尔算法
构造最小生成树的时间效率较好。
*/
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
#define MaxSize 10 //定义元素的大小
typedef char DataType; //定义一个类型
#define MaxVertices 10 //定义顶点的最大值
#define MaxWeight 10000 //定义无穷大的具体值
typedef char VerT;
typedef struct{ //定义一个结构体
DataType list[MaxSize];
int size; //结构体元素的大小
}SeqList; //结构体的对象
typedef struct{
SeqList Vertices;//存放顶点的顺序表
int edge[MaxVertices][MaxVertices];//存放边的邻接矩阵
int numOfEdges;//边的条数
}AdjMGraph;
typedef struct{
int row;//行下标
int col;//列下标
int weight;//权值
}RowColWeight;//边信息结构体
typedef struct{
VerT vertex;//保存最小生成树每条边的弧头顶点数据
int weight;//保存最小生成树的相应边的权值
}MinSpanTree;
//初始化
void initiate(SeqList *L){
L->size=0;//定义初始化元素个数
}
//求当前元素的个数
int getLength(SeqList L){
return L.size;//返回长度
}
//插入数据元素
int insertData(SeqList *L,int i,DataType x){
//在顺序表L的第i(0<=i<=size)个位置前插入数据元素x
//插入成功返回1，出人失败返回0
int j;
if(L->size>=MaxSize){
printf("顺序表已满，无法插入!!\n");
return 0;
}else if(i<0||i>L->size){
printf("插入的位置不合法，不在指定的范围，参数i不合法!\n");
return 0;
}else{
//从后向前一致移动数据，为插入做准备
for(j=L->size;j>i;j--){
L->list[j]=L->list[j-1];
}
L->list[i]=x;
L->size++;
return 1;
}
}
//删除数据
int deleteData(SeqList *L,int i,DataType *x){
//删除顺序表中位置为i的数据i>=0&&i<=size-1，把数据保存到x中
//删除成功返回1，否则返回0
int j;
if(L->size<=0){
printf("顺序表已空无数据元素可删!\n");
return 0;
}else if(i<0||i>L->size-1){
printf("参数i不合法，不能删除!\n");
return 0;
}else{
*x=L->list[i];
for(j=i+1;j<=L->size-1;j++){//从前往后一次前移
L->list[j-1]=L->list[j];
}
L->size--;//数据元素减一
return 1;
}
}
//取出数据元素
int getData(SeqList L,int i,DataType *x){
if(i<0||i>L.size-1){
printf("参数i不合法，不能删除!\n");
return 0;
}else{
*x=L.list[i];
return 1;
}
}
//初始化有n个顶点的顺序表和邻接矩阵
void InitiateG(AdjMGraph *g,int n){
//初始化
int i,j;
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(i==j){
g->edge[i][j]=0;
}else{
g->edge[i][j]=MaxWeight;//MaxWeight表示无穷大
}
}
}
g->numOfEdges=0;//边的条数置为0
initiate(&g->Vertices);//顺序表初始化
}
//插入顶点
void InsertVertex(AdjMGraph *g,DataType vertex){
//在图G中插入顶点vertex
insertData(&g->Vertices,g->Vertices.size,vertex);//顺序表尾插入
}
//插入边
void InsertEdge(AdjMGraph *g,int v1,int v2,int weight){
//在图中插入边<v1,v2>,边<v1,v2>的权为weight
if(v1<0||v1>=g->Vertices.size||v2<0||v2>=g->Vertices.size){
printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");
return ;
}
g->edge[v1][v2]=weight;
g->numOfEdges++;
}
//删除边
void DeleteEdge(AdjMGraph *g,int v1,int v2){
//在G图中删除边<v1,v2>
if(v1<0||v1>=g->Vertices.size||v2<0||v2>=g->Vertices.size){
printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");
return ;
}
if(g->edge[v1][v2]==MaxWeight||v1==v2){
printf("该边不存在!!!\n");
return;
}
g->edge[v1][v2]=MaxWeight;
g->numOfEdges--;
}
//取第一个邻接顶点
int GetFirstVex(AdjMGraph g,int v){
//在图G中寻找序号为v的顶点的第一个邻接顶点
//如果这样的顶点存在，则返回该邻接顶点的序号，否则返回-1
int col;
if(v<0||v>=g.Vertices.size){
printf("参数v1越界出错!!!\n");
return -1;
}
for(col=0;col<g.Vertices.size;col++){
if(g.edge[v][col]>0&&g.edge[v][col]<MaxWeight){
return col;
}
}
return -1;
}
//取下一个邻接顶点
int GetNextVex(AdjMGraph g,int v1,int v2){
//在图中寻找v1顶点的邻接顶点v2的下一个邻接顶点
//如果这样的邻接顶点存在，则返回该邻接顶点的序号；否则返回-1
//v1和v2都是相应的顶点的序号
int col;
if(v1<0||v1>g.Vertices.size||v2<0||v2>=g.Vertices.size){
printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");
return -1;
}
for(col=v2+1;col<g.Vertices.size;col++){
if(g.edge[v1][col]>0&&g.edge[v1][col]<MaxWeight){
return col;
}
}
return -1;
}
void CreatGraph(AdjMGraph *g,DataType V[],int n,RowColWeight E[],int e){
//在图中插入n个顶点信息V和e条边信息E
int i,k;
InitiateG(g,n);//d顶点顺序表初始化
for(i=0;i<n;i++){
InsertVertex(g,V[i]);//插入顶点
}
for(k=0;k<e;k++){
InsertEdge(g,E[k].row,E[k].col,E[k].weight);//插入边
}
}
//普里姆函数设计
//参数g为邻接矩阵存储结构的图
//closeVertex为通过函数得到的最小生成树的顶点和相应顶点边的权值数据
void Prim(AdjMGraph g,MinSpanTree closeVertex[]){
//用普里姆算法建立带权图G的最小生成树closeVertex
VerT x;
int n=g.Vertices.size,minCost;
int *lowCost=(int *)malloc(sizeof(int)*n);//保存集合U中顶点ui与集合V-U中顶点vj的所有边中当前具有最小权值的边(u,v)
int i,j,k;
for(i=1;i<n;i++){//初始化
//lowCost的初始值为邻接矩阵数组中第0行的值
lowCost[i]=g.edge[0][i];//存放了从集合U中顶点0到集合V-U中各个顶点的权值
}
//从顶点0出发构造最小生成树
getData(g.Vertices,0,&x);//取顶点0
closeVertex[0].vertex=x;//保存顶点
lowCost[0]=-1;//标记顶点
for(i=1;i<n;i++){
//寻找当前最小权值的边对应的弧头顶点k
minCost=MaxWeight;//MaxWeight为定义的最大值
for(j=1;j<n;j++){
if(lowCost[j]<minCost&&lowCost[j]>0){
minCost=lowCost[j];
k=j;
}
}
getData(g.Vertices,k,&x);//取弧头顶点k
closeVertex[i].vertex=x;//保存弧头顶点k的数据
closeVertex[i].weight=minCost;//保存相应的权值
lowCost[k]=-1;//标志顶点k
//根据加入集合U的顶点k修改lowCost中的数值
for(j=1;j<n;j++){
if(g.edge[k][j]<lowCost[j]){
lowCost[j]=g.edge[k][j];
}
}
}
}
void main(){
AdjMGraph g;
DataType a[]={'A','B','C','D','E','F','G'};
RowColWeight rcw[]={{0,1,50},{1,0,50},{0,2,60},{2,0,60},{1,3,65},
{3,1,65},{1,4,40},{4,1,40},{2,3,52},{3,2,52},{2,6,45},{6,2,45},
{3,4,50},{4,3,50},{3,5,30},{5,3,30},{3,6,42},{6,3,42},{6,2,45},
{4,5,70},{5,4,70}};
int n=7,e=20;
int i,j;
MinSpanTree closeVertex[7];//定义保存最小生成树的数组
CreatGraph(&g,a,n,rcw,e);//创建图
Prim(g,closeVertex);//调用Prim函数
//输出Prim函数得到最小生成树的顶点序列和权值
printf("初始顶点=%c\n",closeVertex[0].vertex);
for(i=1;i<n;i++){
printf("顶点=%c 边的权值=%d\n",closeVertex[i].vertex,closeVertex[i].weight);
}
}
结果输出为：
最小生成树
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