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图的存储结构

2024-07-26 07:23:33   221人阅读

图的存储结构（邻接矩阵）

 

 

图的存储结构

 

图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多。

对于线性表来说，是一对一的关系，所以用数组或者链表均可简单存放。树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放。

那么我们的图，是多对多的情况，另外图上的任何一个顶点都可以被看作是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。

我们仔细观察以下几张图，然后深刻领悟一下：

 

因为任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系（内存物理位置是线性的，图的元素关系是平面的）。

如果用多重链表来描述倒是可以做到，但在几节课前的树章节我们已经讨论过，纯粹用多重链表导致的浪费是无法想像的（如果各个顶点的度数相差太大，就会造成巨大的浪费）。

所幸，前辈们已经帮想好了出路，我们接下来会谈图的五种不同的存储结构，大家做好准备哦~

 

邻接矩阵（无向图）

 

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分为两个结构来分别存储。

顶点因为不区分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是狠不错的选择。

 

而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维数组肯定就搞不定了，那我们不妨考虑用一个二维数组来存储。

于是我们的邻接矩阵方案就诞生了！

 

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

 

我们可以设置两个数组，顶点数组为vertex[4]={V0,V1,V2,V3}，边数组arc[4][4]为对称矩阵(0表示不存在顶点间的边，1表示顶点间存在边)。

 

对称矩阵：所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。

 

有了这个二维数组组成的对称矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息：

  1. 要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了；
  2. 要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点Vi在邻接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和；
  3. 求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点咯。

 

邻接矩阵（有向图）

 

无向图的边构成了一个对称矩阵，貌似浪费了一半的空间，那如果是有向图来存放，会不会把资源都利用得很好呢？

 

可见顶点数组vertex[4]={V0,V1,V2,V3}，弧数组arc[4][4]也是一个矩阵，但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称，例如由V1到V0有弧，得到arc[1][0]=1，而V0到V1没有弧，因此arc[0][1]=0。

另外有向图是有讲究的，要考虑入度和出度，顶点V1的入度为1，正好是第V1列的各数之和，顶点V1的出度为2，正好是第V1行的各数之和。

 

邻接矩阵（网）

 

在图的术语中，我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上带有权的图就叫网。


以邻接矩阵创建有向图为例：
#include "stdlib.h"
#include "stdio.h"

#define MAX_VERTEX_NUM 10             /*最多顶点个数*/
#define INFINITY 32768             /*表示极大值，即∞*/
#define True 1
#define False 0
#define Error -1
#define Ok 1

typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;  /*图的种类：DG表示有向图, DN表示有向网, UDG表示无向图, UDN表示无向网*/
typedef char VertexData;    /*假设顶点数据为字符型*/

typedef struct ArcNode
{
	int adj;   /*对于无权图，用1或0表示是否相邻；对带权图，则为权值类型*/

} ArcNode;

typedef struct
{
	VertexData vexs[MAX_VERTEX_NUM];                        /*顶点向量*/
	ArcNode arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];   /*邻接矩阵*/
	int vexnum,arcnum;          /*图的顶点数和弧数*/
	GraphKind kind;                 /*图的种类标志*/
}AdjMatrix;      /*(Adjacency Matrix Graph)*/

int LocateVertex(AdjMatrix *G,VertexData v)    /*求顶点位置函数*/
{
	int j=Error,k;
	for(k=0;k<G->vexnum;k++)
		if(G->vexs[k]==v)
		{ 
			j=k; 
			break; 
		}
	return(j);
}
int CreateDN(AdjMatrix *G)  /*创建一个有向网*/
{ 
	int i,j,k,weight; 
	VertexData v1,v2;
	printf("输入图的顶点数和弧数\n");
	fflush(stdin);
    scanf("%d,%d",&G->arcnum,&G->vexnum); /*输入图的顶点数和弧数*/
    for(i=0;i<G->vexnum;i++)       /*初始化邻接矩阵*/
		for(j=0;j<G->vexnum;j++)
			G->arcs[i][j].adj=INFINITY;
    for(i=0;i<G->vexnum;i++)
	{
        printf("输入图的顶点\n");
		fflush(stdin);
		scanf("%c",&G->vexs[i]);  /* 输入图的顶点*/
	}
	for(k=0;k<G->arcnum;k++)
	{ 
		printf("输入一条弧的两个顶点及权值\n");
		fflush(stdin);
		scanf("%c,%c,%d",&v1,&v2,&weight);/*输入一条弧的两个顶点及权值*/
	  	i=LocateVertex(G,v1);
	    j=LocateVertex(G,v2); 
	    G->arcs[i][j].adj=weight;  /*建立弧*/
	} 
	return(Ok);
}

void main()
{
	AdjMatrix G;
	CreateDN(&G);
}

无向与有向的关键区别在于初始化，无向为节省空间，可以只初始化下三角或上三角，空间复杂度n(n-1)/2.

邻接表（无向图）

 

邻接矩阵看上去是个不错的选择，首先是容易理解，第二是索引和编排都很舒服~

但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构无疑是存在对存储空间的极大浪费。

邻接表（有向图）

邻接表（有向图）

 

因此我们可以考虑另外一种存储结构方式，例如把数组与链表结合一起来存储，这种方式在图结构也适用，我们称为邻接表(AdjacencyList)。

 

邻接表的处理方法是这样：

  1. 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。
  2. 图中每个顶点Vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不确定，所以我们选择用单链表来存储。

 

邻接表（无向图）

邻接表（无向图）

 

邻接表（有向图）

 

若是有向图，邻接表结构也是类似的，我们先来看下把顶点当弧尾建立的邻接表，这样很容易就可以得到每个顶点的出度：

邻接表（有向图）

 

但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表：

邻接表（有向图）

 

此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。

 

邻接表（网）

 

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个数据域来存储权值即可：

邻接表（网）

邻接表（网）


十字链表

 

邻接表固然优秀，但也有不足，例如对有向图的处理上，有时候需要再建立一个逆邻接表~

那我们思考了：有没有可能把邻接表和逆邻接表结合起来呢？

 

答案是肯定的，这就是我们现在要谈的十字链表(Orthogonal List)

为此我们重新定义顶点表结点结构：

十字链表

十字链表

 

接着重新定义边表结点结构：

十字链表

十字链表

十字链表

十字链表

 

十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起，这样既容易找到以Vi为尾的弧，也容易找到以Vi为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。

十字链表除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图的应用中，十字链表也是非常好的数据结构模型。

 以有向图为例：

/*图的十字链表结构形式化定义如下：*/
#include <malloc.h>
#include <stdio.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 10              /*最多顶点个数*/
#define INFINITY 32768             /*表示极大值，即∞*/
#define True 1
#define False 0

#define Error -1
#define Ok 1
typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;  /*图的种类*/
typedef char VertexData;    /*假设顶点数据为字符型*/


typedef struct ArcNode 
{
	int tailvex,headvex;  
	struct ArcNode *hlink,*tlink;    
}ArcNode;

typedef struct VertexNode
{
	VertexData data;    /*顶点信息*/
	ArcNode *firstin,*firstout;   
}VertexNode;

typedef struct
{
	VertexNode vertex[MAX_VERTEX_NUM];   
	int vexnum,arcnum;   /*图的顶点数和弧数*/
	GraphKind kind;              /*图的种类*/
}OrthList;      /*图的十字链表表示法(Orthogonal List)*/

int LocateVertex(OrthList *G,VertexData v)    /*求顶点位置函数*/
{
	int j=Error,k;
	for(k=0;k<G->vexnum;k++)
		if(G->vertex[k].data=http://www.mamicode.com/=v)>

邻接多重表
 
讲了有向图的优化存储结构，对于无向图的邻接表，有没有问题呢？
如果我们在无向图的应用中，关注的重点是顶点的话，那么邻接表是不错的选择，但如果我们更关注的是边的操作，比如对已经访问过的边做标记，或者删除某一条边等操作，邻接表就显得不那么方便了。
 
到底有多烦？小甲鱼用图片告诉你：
若要删除(V0,V2)这条边，就需要对邻接表结构中边表的两个结点进行删除操作。
邻接多重表
邻接多重表
 
因此，我们也仿照十字链表的方式，对边表结构进行改装，重新定义的边表结构如下：
邻接多重表
 
其中iVex和jVex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。iLink指向依附顶点iVex的下一条边，jLink指向依附顶点jVex的下一条边。
也就是说在邻接多重表里边，边表存放的是一条边，而不是一个顶点。（注意这句话）
 
不急，马上进入No pic you say a J8!环节~
邻接多重表
邻接多重表
 
边集数组
 
边集数组是由两个一维数组构成，一个是存储顶点的信息，另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标(begin)、终点下标(end)和权(weight)组成。
边集数组
边集数组

本文部分内容来自鱼C工作室，详细请见：http://blog.fishc.com/
关于邻接表与邻接多重表有时间会再补上，如有问题，请跟帖指出！！
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