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图像特征检测：Harris角点
1. 不同类型的角点
在现实世界中，角点对应于物体的拐角，道路的十字路口、丁字路口等。从图像分析的角度来定义角点可以有以下两种定义：
- 角点可以是两个边缘的角点；
- 角点是邻域内具有两个主方向的特征点；
前者往往需要对图像边缘进行编码，这在很大程度上依赖于图像的分割与边缘提取，具有相当大的难度和计算量，且一旦待检测目标局部发生变化，很可能导致操作的失败。早期主要有Rosenfeld和Freeman等人的方法，后期有CSS等方法。
基于图像灰度的方法通过计算点的曲率及梯度来检测角点，避免了第一类方法存在的缺陷，此类方法主要有Moravec算子、Forstner算子、Harris算子、SUSAN算子等。
这篇文章主要介绍的Harris角点检测的算法原理，比较著名的角点检测方法还有jianbo Shi和Carlo Tomasi提出的Shi-Tomasi算法，这个算法开始主要是为了解决跟踪问题，用来衡量两幅图像的相似度，我们也可以把它看为Harris算法的改进。OpenCV中已经对它进行了实现，接口函数名为GoodFeaturesToTrack()。另外还有一个著名的角点检测算子即SUSAN算子，SUSAN是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus（最小核值相似区）的缩写。SUSAN使用一个圆形模板和一个圆的中心点，通过圆中心点像素与模板圆内其他像素值的比较，统计出与圆中心像素近似的像元数量，当这样的像元数量小于某一个阈值时，就被认为是要检测的角点。我觉得可以把SUSAN算子看为Harris算法的一个简化。这个算法原理非常简单，算法效率也高，所以在OpenCV中，它的接口函数名称为：FAST() 。
2. Harris角点
2.1 基本原理
人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。
对于图像$I(x,y)$，当在点$(x,y)$处平移$(\Delta x,\Delta y)$后的自相似性，可以通过自相关函数给出：
$$c(x,y;\Delta x,\Delta y) = \sum_{(u,v)\in W(x,y)}w(u,v)(I(u,v) – I(u+\Delta x,v+\Delta y))^2$$
其中，$W(x,y)$是以点$(x,y)$为中心的窗口，$w(u,v)$为加权函数，它既可是常数，也可以是高斯加权函数。
根据泰勒展开，对图像$I(x,y)$在平移$(\Delta x,\Delta y)$后进行一阶近似：
$$I(u+\Delta x,v+\Delta y) = I(u,v)+I_x(u,v)\Delta x+I_y(u,v)\Delta y+O(\Delta x^2,\Delta y^2)\approx I(u,v)+I_x(u,v)\Delta x+I_y(u,v)\Delta y$$
其中，$I_x,I_y$是图像$I(x,y)$的偏导数，这样的话，自相关函数则可以简化为：
$$c(x,y;\Delta x,\Delta y)\approx \sum_w (I_x(u,v)\Delta x+I_y(u,v)\Delta y)^2=[\Delta x,\Delta y]M(x,y)\begin{bmatrix}\Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix}$$
其中
$$M(x,y)=\sum_w \begin{bmatrix}I_x(x,y)^2&I_x(x,y)I_y(x,y) \\ I_x(x,y)I_y(x,y)&I_y(x,y)^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sum_w I_x(x,y)^2&\sum_w I_x(x,y)I_y(x,y) \\\sum_w I_x(x,y)I_y(x,y)&\sum_w I_y(x,y)^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&C\\C&B\end{bmatrix} $$
也就是说图像$I(x,y)$在点$(x,y)$处平移$(\Delta x,\Delta y)$后的自相关函数可以近似为二项函数：
$$c(x,y;\Delta x,\Delta y)\approx A\Delta x^2+2C\Delta x\Delta y+B\Delta y^2$$
其中
$$A=\sum_w I_x^2, B=\sum_w I_y^2,C=\sum_w I_x I_y$$
二次项函数本质上就是一个椭圆函数。椭圆的扁率和尺寸是由$M(x,y)$的特征值$\lambda_1、\lambda_2$决定的，椭贺的方向是由$M(x,y)$的特征矢量决定的，如下图所示，椭圆方程为：
$$[\Delta x,\Delta y]M(x,y)\begin{bmatrix}\Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix} = 1$$
椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况：
- 图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，$\lambda_1\gg \lambda_2$或$\lambda_2\gg \lambda_1$。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
- 图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
- 图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。
根据二次项函数特征值的计算公式，我们可以求$M(x,y)$矩阵的特征值。但是Harris给出的角点差别方法并不需要计算具体的特征值，而是计算一个角点响应值$R$来判断角点。$R$的计算公式为：
$$R=det \boldsymbol{M} - \alpha(trace\boldsymbol{M})^2$$
式中，$det\boldsymbol{M}$为矩阵$\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}$的行列式；$trace\boldsymbol{M}$为矩阵$\boldsymbol{M}$的直迹；$\alpha$为经常常数，取值范围为0.04~0.06。事实上，特征是隐含在$det\boldsymbol{M}$和$trace\boldsymbol{M}$中，因为，
$$det\boldsymbol{M} = \lambda_1\lambda_2=AC-B^2$$
$$trace\boldsymbol{M}=\lambda_2+\lambda_2=A+C$$
2.2 Harris角点算法实现
根据上述讨论，可以将Harris图像角点检测算法归纳如下，共分以下五步：
1. 计算图像$I(x,y)$在$X$和$Y$两个方向的梯度$I_x、I_y$。
$$I_x=\frac{\partial I}{\partial x}=I\otimes(-1\ 0\ 1)，I_y =\frac{\partial I}{\partial x}=I\otimes(-1\ 0\ 1)^T $$
2. 计算图像两个方向梯度的乘积。
$$I_x^2=I_x\cdot I_y，I_y^2=I_y\cdot I_y，I_{xy}=I_x\cdot I_y$$
3. 使用高斯函数对$I_x^2、I_y^2和I_{xy}$进行高斯加权（取$\sigma=1$），生成矩阵$M$的元素$A、B$和$C$。
$$A=g(I_x^2)=I_x^2\otimes w，C=g(I_y^2)=I_y^2\otimes w，B=g(I_{x,y})=I_{xy}\otimes w$$
4. 计算每个像素的Harris响应值$R$，并对小于某一阈值$t$的$R$置为零。
$$R=\{R:det \boldsymbol{M} - \alpha(trace\boldsymbol{M})^2<t\}$$
5. 在$3\times3$或$5\times5$的邻域内进行非最大值抑制，局部最大值点即为图像中的角点。
Harris角点检测的C++实现代码：https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harris.cpp
2.3 Harris角点的性质
1. 参数$\alpha$对角点检测的影响
假设已经得到了矩阵$\boldsymbol{M}$的特征值$\lambda_1\ge\lambda_2\ge0$，令$\lambda_2=k\lambda_2,0\le k\le 1$。由特征值与矩阵$\boldsymbol{M}$的直迹和行列式的关系可得：
$$det\boldsymbol{M}=\prod_i\lambda_i \ \ \ \ \ \ trace\boldsymbol{M}=\sum_i\lambda_i$$
从而可以得到角点的响应
$$R=\lambda_2\lambda_2=\alpha(\lambda_2+\lambda_2)^2=\lambda^2(k-\alpha(1+k)^2)$$
假设$R\ge0$，则有：
$$0\le \alpha \le\frac{k}{(1+k)^2}\le0.25$$
对于较小的$k$值，$R\approx\lambda^2(k-\alpha),\alpha<k$。
由此，可以得出这样的结论：增大$\alpha$的值，将减小角点响应值$R$，降低角点检测的灵性，减少被检测角点的数量；减小$\alpha$值，将增大角点响应值$R$，增加角点检测的灵敏性，增加被检测角点的数量。
2. Harris角点检测算子对亮度和对比度的变化不敏感
这是因为在进行Harris角点检测时，使用了微分算子对图像进行微分运算，而微分运算对图像密度的拉升或收缩和对亮度的抬高或下降不敏感。换言之，对亮度和对比度的仿射变换并不改变Harris响应的极值点出现的位置，但是，由于阈值的选择，可能会影响角点检测的数量。
3. Harris角点检测算子具有旋转不变性
Harris角点检测算子使用的是角点附近的区域灰度二阶矩矩阵。而二阶矩矩阵可以表示成一个椭圆，椭圆的长短轴正是二阶矩矩阵特征值平方根的倒数。当特征椭圆转动时，特征值并不发生变化，所以判断角点响应值$R$也不发生变化，由此说明Harris角点检测算子具有旋转不变性。
4. Harris角点检测算子不具有尺度不变性
如下图所示，当右图被缩小时，在检测窗口尺寸不变的前提下，在窗口内所包含图像的内容是完全不同的。左侧的图像可能被检测为边缘或曲线，而右侧的图像则可能被检测为一个角点。
2.4 Harris的OpenCV接口
OpenCV的Hairrs角点检测的函数为cornerHairrs()，但是它的输出是一幅浮点值图像，浮点值越高，表明越可能是特征角点，我们需要对图像进行阈值化。
C++: void cornerHarris(InputArray src, OutputArray dst, int blockSize, int apertureSize, double k, int borderType = BORDER_DEFAULT);
- src – 输入的单通道8-bit或浮点图像。
- dst – 存储着Harris角点响应的图像矩阵，大小与输入图像大小相同，是一个浮点型矩阵。
- blockSize – 邻域大小。
- apertureSize – 扩展的微分算子大。
- k – 响应公式中的，参数$\alpha$。
- boderType – 边界处理的类型。
int main(){ Mat image = imread("../buliding.png"); Mat gray; cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY); Mat cornerStrength; cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01); threshold(cornerStrength, cornerStrength, 0.001, 255, THRESH_BINARY); return 0;}
从上面上间一幅图像我们可以看到，有很多角点都是粘连在一起的，我们下面通过加入非极大值抑制来进一步去除一些粘在一起的角点。
非极大值抑制原理是，在一个窗口内，如果有多个角点则用值最大的那个角点，其他的角点都删除，窗口大小这里我们用3*3，程序中通过图像的膨胀运算来达到检测极大值的目的，因为默认参数的膨胀运算就是用窗口内的最大值替代当前的灰度值。
int main(){ Mat image = imread("buliding.png"); Mat gray; cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY); Mat cornerStrength; cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01); double maxStrength; double minStrength; // 找到图像中的最大、最小值 minMaxLoc(cornerStrength, &minStrength, &maxStrength); Mat dilated; Mat locaMax; // 膨胀图像，最找出图像中全部的局部最大值点 dilate(cornerStrength, dilated, Mat()); // compare是一个逻辑比较函数，返回两幅图像中对应点相同的二值图像 compare(cornerStrength, dilated, locaMax, CMP_EQ); Mat cornerMap; double qualityLevel = 0.01; double th = qualityLevel*maxStrength; // 阈值计算 threshold(cornerStrength, cornerMap, th, 255, THRESH_BINARY); cornerMap.convertTo(cornerMap, CV_8U); // 逐点的位运算 bitwise_and(cornerMap, locaMax, cornerMap); drawCornerOnImage(image, cornerMap); namedWindow("result"); imshow("result", image); waitKey(); return 0;}void drawCornerOnImage(Mat& image, const Mat&binary){ Mat_<uchar>::const_iterator it = binary.begin<uchar>(); Mat_<uchar>::const_iterator itd = binary.end<uchar>(); for (int i = 0; it != itd; it++, i++) { if (*it) circle(image, Point(i%image.cols, i / image.cols), 3, Scalar(0, 255, 0), 1); }}
现在我们得到的效果就比默认的函数得到的结果有相当的改善，如上面最右边效果图。
3. 多尺度Harris角点
3.1 多尺度Harris角点的原理
虽然Harris角点检测算子具有部分图像灰度变化的不变性和旋转不变性，但它不具有尺度不变性。但是尺度不变性对图像特征来说至关重要。人们在使用肉眼识别物体时，不管物体远近，尺寸的变化都能认识物体，这是因为人的眼睛在辨识物体时具有较强的尺度不变性。在图像特征提取：尺度空间理论这篇文章里就已经讲到了高斯尺度空间的概念。下面将Harris角点检测算子与高斯尺度空间表示相结合，使用Harris角点检测算子具有尺度的不变性。
仿照Harris角点检测中二阶矩的表示方法，使用$M=\mu(x,\sigma_I,\sigma_D)$为尺度自适应的二阶矩：
$$\boldsymbol{M}=\mu(x,\sigma_I,\sigma_D)=\sigma_D^2g(\sigma_I)\otimes\begin{bmatrix}L_x^2(x,\sigma_D)&L_xL_y(x,\sigma_D)\\L_xL_y(x,\sigma_D)&L_y^2(x,\sigma_D)\end{bmatrix} $$
其中，$g(\sigma_I)$表示尺度为$sigma_I$的高斯卷积核，$x$表示图像的位置。与高斯测度空间类似，使用$L(x)$表示经过高斯平滑后的图像，符号$\otimes$表示卷积，$L_x(x,\sigma_D)$和$L_y(x,\sigma_D)$表示对图像使用高斯$g(\sigma_D)$函数进行平滑后，在$x$或$y$方向取其微分的结果，即$L_x=\partial_xL$和$L_y=\partial_yL$。通常将$\sigma_I$称为积分尺度，它是决定Harris角点当前尺度的变量，$\sigma_D$为微分尺度或局部尺度，它是决定角点附近微分值变化的变量。显然，积分尺度$\sigma_I$应该大于微分尺度$\sigma_D$。
3.2 多尺度Harris角点实现
首先，检测算法从预先定义的一组尺度中进行积分尺度搜索，这一组尺度定义为
$$\sigma_1\dots\sigma_n = \sigma_0\dots k^n\sigma_0$$
一般情况下使用k=1.4。为了减少搜索的复杂性，对于微分尺度$\sigma_D$的选择，我们采用在积分尺度的基础上，乘以一个比例常数，即$\sigma_D=s\sigma_I$，一般取s=0.7。这样，通常使用积分和微分的尺度，便可以生成$\mu(x,\sigma_I,\sigma_D)$，再利用Harris角点判断准则，对角点进行搜索，具体可以分两步进行。
1. 与Harris角点搜索类似，对于给定的尺度空间值$\sigma_D$，进行如下角点响应值计算和判断：
$$cornerness = det(\mu(x,\sigma_n)-\alpha trace^2(\mu(x,\sigma_n)))>threshold_H$$
2. 对于满足1中条件的点，在点的8邻域内进行角点响应最大值搜索（即非最大值抑制）出在8邻域内角点响应最大值的点。对于每个尺度$\sigma_n(1,2,\dots,n)$都进行如上搜索。
由于位置空间的候选点并不一定在尺度空间上也能成为候选点，所以，我们还要在尺度空间上进行搜索，找到该点的所谓特征尺度值。搜索特征尺度值也分两步。
1. 对于位置空间搜索到的每个候选点，进行拉普拉斯响应计算，并满足其绝对值大于给定的阈值条件：
$$F(x,\sigma_n) = \sigma_n^2|L_{xx}(x,\sigma_n)+L_{yy}(x,\sigma_n)| \ge threshold_L$$
2. 与邻近的两个尺度空间的拉普拉斯响应值进行比较，使其满足：
$$F(x,\sigma_n)>F(x,\sigma_l), \ \ \ l\in \{n-1.n+1\}$$
满足上述条件的尺度值就是该点的特征尺度值。这样，我们就找到了在位置空间和尺度空间都满足条件的Harris角点。
多尺度Harris角点检测C++实现：https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harrisLaplace.cpp
4. 更多的讨论
在上面描述的Harris角点具有光照不变性、旋转不变性、尺度不变性，但是严格意义上来说并不具备仿射不变性。Harris-Affine是一种新颖的检测仿射不变特征点的方法，可以处理明显的仿射变换，包括大尺度变化和明显的视角变化。Harris-Affine主要是依据了以下三个思路：
- 特征点周围的二阶矩的计算对区域进行的归一化，具有仿射不变性；
- 通过在尺度空间上归一化微分的局部极大值求解来精化对应尺度；
- 自适应仿射Harris检测器能够精确定位牲点；
这篇文章不对Harris-Affine作进一步的描述，有时间会对这一算法做专门的分析，有兴趣的可以参考原论文：Scale & Affine Invariant Interest Point Detectors.
5. 参考资料
[1] 《图像局部不变特征与描述》王永明，王贵锦。
[2] Harris角点及Shi-Tomasi角点检测
[3] 图像特征提取PPT
[4] Harris角点检测算法 1
[5] OpenCV Harris角点检测
[6] Opencv学习笔记（五）Harris角点检测
图像特征检测：Harris角点