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题意:

一个人受雇于某公司要找出某个软件的bugs和subcomponents，这个软件一共有n个bugs和s个subcomponents，每次他都能同时随机发现1个bug和1个subcomponent,问他找到所有的bugs和subcomponents的期望次数。

分析：

期望倒着推，概率正着推。

dp[i][j]表示已经找到i种bug，并存在于j个子系统中，要达到目标状态的天数的期望。
显然，dp[n][s]=0，因为已经达到目标了。而dp[0][0]就是我们要求的答案。
dp[i][j]状态可以转化成以下四种：
dp[i][j] 发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中
dp[i+1][j] 发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统
dp[i][j+1] 发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统
dp[i+1][j+1]发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统
以上四种的概率分别为：
p1 = i*j / (n*s)
p2 = (n-i)*j / (n*s)
p3 = i*(s-j) / (n*s)
p4 = (n-i)*(s-j) / (n*s)
又有：期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +...
所以：
dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1;
整理得：
dp[i,j] = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 )    //这个式子相当于( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 )

              // +0*p1.
= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cmath> 6 #include <algorithm> 7 #define LL __int64 8 const int maxn = 1000+10; 9 using namespace std;10 double d[maxn][maxn];11 12 int main()13 {14     int n, s, i, j;15     while(~scanf("%d%d", &n, &s))16     {17         memset(d, 0, sizeof(d));18         d[n][s] = 0;19         for(i = n; i >= 0; i--)20         for(j = s; j >= 0; j--)21         {22             if(i==n && j==s) continue;23             d[i][j] = (1 + d[i][j+1]*(i*1.0/n*(s-j)*1.0/s)+24             d[i+1][j]*(j*1.0/s*(n-i)*1.0/n)+25             d[i+1][j+1]*((n-i)*1.0/n*(s-j)*1.0/s))*1.0/(1.0-(i*j)*1.0/(n*s));26             //上面的式子是三种情况 和 最后乘的是为了达到i、j加一天的概率。27             //上面的递推式子简洁一点化简完是这样的:28             //dp[i][j]=(i*(s-j)*dp[i][j+1]+(n-i)*j*dp[i+1][j]+(n-i)*(s-j)*dp[i+1][j+1]+n*s)/(n*s-i*j);29         }30         printf("%.4f\n", d[0][0]);31     }32     return 0;33 }

贴一个很好的概率dp的分析（转载的链接）：

近年的acm竞赛中，数学期望问题常有涉及，在以前也常让本人感到很头疼，近来突然开窍，掌握了基本的分析方法，希望对大家有帮助。写得浅薄，可能数学上不够严谨，只供理解。

            首先，来看下期望有啥基本的公式。

对离散型随机变量x，其概率为p，有

对随机变量A、B,有 

第二条式子是今天的主角，他表明了期望有线性的性质，简单理解就是期望之间可根据关系，简单运算（不严谨的理解）。 这就为我们解决一个期望问题，不断转化为解决另外的期望问题，最终转化到一个已知的期望上。

举一个求期望最简单的例子，见下图。

假设有个人在 1号节点处，每一分钟他会缘着边随机走到一个节点或者在原地停留，问他走到4号节点需要平均几分钟？

这是个简单的期望问题，我们用Ei(i=1,2,3,4) 表示从i号节点走到4号节点的数学期望值。根据题意对1号节点有

E1=（1/3）*E1+（1/3）*E2+（1/3）*E3+1 ①

表示 他下一分钟可以走到2或者3或在原地1，每个可能概率是1/3 ,注意是下一分钟，故要加上1.

同理我们对节点2，3同样可以列出

E2=(1/3)*E1+(1/3)*E2+(1/3)*E4+1 ②

E3=(1/3)*E1+(1/3)*E3+(1/3)*E4+1 ③

那E4等于多少呢？ 很明显E4=0 ④，因为他就是要到点4

这样上面1234式其实就是组成了一组方程组，解方程组就可得出E1！！，用高斯消元，复杂度是O(n^3)

从上述例子，我们可总结出如何解决期望类问题，根据题意，表示出各个状态的期望（上例的Ei，1234）,根据概率公式，列出期望之间的方程，解方程即可。

下面看用上述思路如何解决一道题（poj2096）

原题见附件1。

题意简述： 一个人受雇于某公司要找出某个软件的bugs和subcomponents，这个软件一共有n个bugs和s个subcomponents，每次他都能同时随机发现1个bug和1个subcomponent,问他找到所有的bugs和subcomponents的期望次数。

我们用E(i,j)表示他找到了i个bugs和j个subcomponents，离找到n个bugs和s个subcomponents还需要的期望次数，这样要求的就是E(0,0),而E(n,s)=0,对任意的E(i,j),1次查找4种情况，没发现任何新的bugs和subcomponents，发现一个新的bug，发现一个新的subcomponent，同时发现一个新的bug和subcomponent，用概率公式可得：

E(i,j)=1+(i*j/n/s)*E(i,j)+(i*(s-j)/n/s)E(i,j+1)+

((n-i)*j/n/s)*E(i+1,j)+(n-i)*(s-j)/n/s*E(i+1,j+1);

这样根据边界就可解出所有的E(i,j),注意因为当我们找到n个bugs和s个subcomponents就结束，对i>n||j>s均无解的情况，并非期望是0.(数学上常见问题，0和不存在的区别)

那这题是否也是要用高斯消元呢？ 用高斯消元得话复杂度是O(n^3)，达到10^18 根本是不可解的！！

但其实，注意观察方程，当我们要解E(i,j)的话就需要E(i+1,j),E(I,j+1),E(i+1,j+1), 一开始已知E(n,s)，那其实只要我们从高往低一个个解出I,j就可以了！ 即可根据递推式解出所有的E(I,j) 复杂度是O(n),10^6 ，完美解决。程序见附件2

从上面这道题，我们再次看到了解决期望问题的思路，而且是用到了递推解决问题，其实可递推的原因，当我们把各个状态当成是一个个节点时，概率关系为有向边，我们可看到，可递推的问题其实就是这个关系图是无环的！！那必须要用方程组解决的问题其实就是存在环！！！！ 而且我还要指出的是用高斯消元的时候，要注意误差的问题，最好把式子适当的增大，避免解小数，否则误差太大，估计也会卡题。

poj 2096 Collecting Bugs (概率dp 天数期望)