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3D数学读书笔记——矩阵基础番外篇之线性变换

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前面有一篇文章讨论过多坐标系的问题。有的人可能会问我那么多坐标系,它们之间怎么关联呢?嘿嘿~这次的内容可以为解决这个问题打基础奥!

 

线性变换基础(3D数学编程中,形式转换经常是错误的根源,所以这部分大家要多多思考,仔细运算)

一般来说,方阵(就是行和列都相等的矩阵)能描述任意的线性变换,所以后面我们一般用方阵来变换

其实简单的说,线性变换就是保留直线和平行线,原点没有移动,而其他的几何性质,如长度、角度、面积和体积可能被改变

视觉的直观角度上讲,线性变换可能“拉伸”坐标系,但不会“弯曲”和“卷折”坐标系(毕竟是“线性”的变换嘛,不然可能就叫做曲线变换了)。

下面先引入一个直观的变换例子

先在单位基向量处画一个茶壶

 

然后我们给出一个变换矩阵

然后我们让这个茶壶的坐标按上面的矩阵经行变换

这个变换包含z轴顺时针旋转45°和不规则缩放

 

在讨论具体的变换之前,还必须要搞清楚,我们到底要变换什么。在这里我们所提到的变换,其内容主要就两个:变换物体变换坐标系

变换物体,意味着变换物体上所有的点,这这点将被移动到一个新的位置,我们仍使用同一坐标系来描述变换前和变换后的位置。

变换坐标,意味着物体上的点实际没有移动,我们只是在另外一个坐标系中描述它的位置而已。

 

其实这两种变换实际上是等价的,将物体变换一个量等价于将坐标系变换一个相反的量

ps:下面我们实现的变换都是物体变换

 

旋转

2D中绕原点旋转的参数只有一个:角度θ,它描述了旋转量。(逆时针旋转经常被认为是正方向,顺时针方向时负方向

根据几何知识我们可知旋转矩阵应该为

 

在3D场景中,一般都是绕轴旋转,并且在绕轴旋转θ°时,必须知道哪个方向别认为“正”,哪个方向被认为“负”。

在左手坐标系中定义此方向的规则为左手规则

 

 

左手坐标系
从哪里看正方向负方向
从轴的负端点向正端点看逆时针顺时针
从轴的正端点向负端点看顺时针逆时针

 

绕轴变换中最为常见的就是绕坐标轴旋转

X轴

 

 可得到变换矩阵

同理得到Y轴和Z轴的变换公式

Y轴

Z轴

ps:对于任意轴的旋转,可能等我们学完了平移,将任意轴平移旋转至坐标轴变换后在移后即可。

 

缩放

通过比例因子K按比例变大或缩小来缩放物体。

如果在各方向应用同比例的缩放,且沿原点“扩张”物体,那么就是均匀缩放。(均匀缩放可以保持物体的角度和比例不变)

如果需要挤压或拉伸物体,在不同方向应用不同的因子即可,这称作非均匀缩放。(非均匀缩放时,物体角度将发生变化)

ps:如果 |k|<1 ,物体将变短,如果 |k|>1,物体变长。如果 |k|=0,就是正交投影。

最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子。

2D中有两个缩放因子,。缩放矩阵为:

缩放实例

对于3D,需要增加第三个缩放因子,3D缩放矩阵:

 

正交投影(平行投影)(投影意味着降维操作)

有一种投影方法是在某个方向上用零作为缩放因子。这种情况下,所有点都被拉平至垂直的轴或平面上,这种投影称作正交投影

最简单的投影方式是向坐标轴或平面投影。

在2D环境下,向 x 轴投影

   

在2D环境下,向 y 轴投影

 

在3D环境下,向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩阵

正交投影效果图

 

 

 

镜像(反射)

镜像是一种变换,起、其作用是将物体沿直线,或平面翻折。

ps:一个物体只能镜像一次,如果再次镜像物体将翻回正面,这和在原位置旋转物体的效果一样了。

在2D环境下,沿任意轴镜像的矩阵为

其中向量n为任意轴方向的单位向量,例如如果任意轴为x轴,则n=(1,0),所以关于x轴的镜像矩阵为

在3D环境下,沿任意轴镜像的矩阵为

 

 

切变

切变是一种坐标系“扭曲”变换,非均匀地拉伸它。这是一种很少用到的变换,它也被称扭曲变换

切变的时候角度会发生变化,但是令人惊奇的是面积体积保持不变

切变的基本实现思想是,某一坐标的乘积加到另一个坐标上去:x‘ = x + sy

 

在2D环境下,x坐标根据坐标y以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵

 

在2D环境下,y坐标根据坐标x以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵

3D坐标中的切变矩阵两个坐标轴别另一个坐标轴改变的矩阵

 

                                                                      -End-

 

 参考文献:(1)《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

                 (2)百度百科