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某部分方阵的特征值理解

以二维情况为例,假设我们研究两类方阵,一类是旋转变换矩阵R,一类是缩放变换矩阵S。用“坐标系不变,向量变化”的角度来看,y=Rx将原向量x旋转某个角度得到新向量y,y=Sx将原向量x的x分量与y分量分别缩放S11倍和S22倍,然后再合成得到新向量y。

 

接下来我们进一步看看S。y与x不一定同方向,有两种情况例外。第一种是S11的绝对值=S22的绝对值,这样x的x分量和y分量得到相同的缩放倍数,合成得到的新向量y自然与x平行,这种情况是限制了S,也就是限制了向量操作。另一种例外情况是,原向量x恰好与x轴或者y轴平行,这样x的y分量或者x分量就是0,即使S11绝对值与S22绝对值不相等,新向量y依然与x平行,这种情况是限制了x,也就是限制了向量操作对象。

 

然后我们来看一下y=Ax,其中A=R’*S*R,R’是R的转置,也就是R的逆矩阵。我们来看看这一系列乘法发生了什么事情。首先R*x,通过逆时针旋转x theta度得到中间向量k,然后S*k,通过将k的x分量与y分量分别缩放S11倍和S22倍再合成得到中间向量m,最后R’*m,顺时针旋转m theta度得到最终向量y。

 

好了,现在我们来考虑一个问题。x在满足什么情况下y与x平行?如果S是单位矩阵,y=R’*R*x那就相当于把向量x逆时针旋转一下,又顺时针旋转回来,y=x。如果S是前述的第一种例外情况的话(S11绝对值=S22绝对值),y与x平行,但是这就对S有了要求,并不符合我们的问题(x满足何条件而不是R或S满足何条件)因此,需要满足上述的第二种例外情况,但要注意,S并不是作用在x上,而是作用在R*x上,所以要求R*x与x轴或者y轴平行。

 

这样我们可以得到一个答案,如果x经过R变换,也就是逆时针旋转theta得到中间向量k之后,k恰好与x轴或者y轴平行的话,那么S*k=m自然与k平行,再顺时针旋转theta回来得到向量y自然也就与x平行。

 

既然这种情况下y=Ax与x平行,就相当于y=lambda*x,lambda为一系数。是不是很熟悉,没错,这就是Ax=lambda*x,也就是方阵A的特征值lambda的含义。不嫌啰嗦的说一下,如果A=R’*S*R,x使得k=R*x与x轴平行的话,无论S22等于多少,m=S*k=S11*k,y=S11*x,即lambda=S11;类似地,x使得k=R*x与y轴平行的话,无论S11等于多少,m=S*k=S22*k,y=S22*x,即lambda=S22。也就是说存在两族特别的非零向量x,前者恒有Ax=S11*x,后者恒有Ax=S22*x;称S11和S22为A的特征根/特征值,而这两族非零向量x为对应的特征向量。

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