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HDU 2256 Problem of Precision 数论矩阵快速幂
题目要求求出(√2+√3)2n的整数部分再mod 1024。
(√2+√3)2n=(5+2√6)n
如果直接计算，用double存值，当n很大的时候，精度损失会变大，无法得到想要的结果。
我们发现(5+2√6)n+(5-2√6)n是一个整数（2√6的偶数次幂总会正负抵消掉），并且(5-2√6)n是小于1的。所以我们就只需要求出Sn-1即可。令
An=(5+2√6)n; Bn=(5-2√6)n.
Sn=An+Bn Sn为整数。
Sn*((5+2√6)+(5-2√6))=Sn*10
Sn*10=(5+2√6)n+1+(5-2√6)n+1+(5+2√6)n-1+(5-2√6)n-1
Sn*10=Sn+1+Sn-1
递推式：Sn=10*Sn-1-Sn-2
然后转化为矩阵快速幂求Sn
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int Mod=1024;const int N=2;struct Mat{ int mat[N][N];}a;Mat Multiply(Mat a, Mat b){ Mat c; memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat)); for(int k = 0; k < 2; ++k) for(int i = 0; i < 2; ++i) if(a.mat[i][k]) for(int j = 0; j < 2; ++j) if(b.mat[k][j]) c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] +a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%Mod; return c;}Mat QuickPower(Mat a, int k){ Mat c; memset(c.mat,0,sizeof(c.mat)); for(int i = 0; i < 2; ++i) c.mat[i][i]=1; for(; k; k >>= 1) { if(k&1) c = Multiply(c,a); a = Multiply(a,a); } return c;}void InitMat(Mat &A){ A.mat[0][0]=10; A.mat[0][1]=-1; A.mat[1][0]=1; A.mat[1][1]=0;}int main(){ //freopen("in.txt","r",stdin); int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n; scanf("%d",&n); if(n==1) printf("9\n"); else if(n==2) printf("97\n"); else { InitMat(a); a=QuickPower(a,n-2); int ans=(a.mat[0][0]*98+a.mat[0][1]*10-1)%1024; //我们求的是S[n]-1 while(ans<0) ans+=1024; printf("%d\n",ans); } } return 0;}
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