如果一个字符串从左向右写和从右向左写是一样的，这样的字符串就叫做palindromic string，如aba,或者abba。本题是这样的，给定输入一个字符串，要求输出一个子串，使得子串是最长的padromic string。

下边提供3种思路

1.两侧比较法

以abba这样一个字符串为例来看，abba中，一共有偶数个字，第1位=倒数第1位，第2位=倒数第2位......第N位=倒数第N位
以aba这样一个字符串为例来看，aba中，一共有奇数个字符，排除掉正中间的那个字符后，第1位=倒数第1位......第N位=倒数第N位
所以，假设找到一个长度为len1的子串后，我们接下去测试它是否满足，第1位=倒数第1位，第2位=倒数第2位......第N位=倒数第N位，也就是说，去测试从头尾到中点，字符是否逐一对应相等。

public class LongestPalindromicSubString1 {

	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(longestPalindrome1("babcbabcbaccba"));
	}

	public static String longestPalindrome1(String s) {

		int maxPalinLength = 0;
		String longestPalindrome = null;
		int length = s.length();

		// check all possible sub strings
		for (int i = 0; i < length; i++) {
			for (int j = i + 1; j < length; j++) {
				int len = j - i;
				String curr = s.substring(i, j + 1);
				if (isPalindrome(curr)) {
					if (len > maxPalinLength) {
						longestPalindrome = curr;
						maxPalinLength = len;
					}
				}
			}
		}

		return longestPalindrome;
	}

	public static boolean isPalindrome(String s) {

		for (int i = 0; i < s.length() - 1; i++) {
			if (s.charAt(i) != s.charAt(s.length() - 1 - i)) {
				return false;
			}
		}

		return true;
	}
}
</span>

 2.动态规划法

假设dp[ i ][ j ]的值为true，表示字符串s中下标从 i 到 j 的字符组成的子串是回文串。那么可以推出：
    dp[ i ][ j ] = dp[ i + 1][ j - 1] && s[ i ] == s[ j ]。
    这是一般的情况，由于需要依靠i+1, j -1，所以有可能 i + 1 = j -1, i +1 = (j - 1) -1，因此需要求出基准情况才能套用以上的公式：
    a. i + 1 = j -1，即回文长度为1时，dp[ i ][ i ] = true;
    b. i +1 = (j - 1) -1，即回文长度为2时，dp[ i ][ i + 1] = （s[ i ] == s[ i + 1]）。
    有了以上分析就可以写出代码了。需要注意的是动态规划需要额外的O(n2)的空间。

public class LongestPalindromicSubString2 {

	public static String longestPalindrome2(String s) {
		if (s == null)
			return null;
	 
		if(s.length() <=1)
			return s;
	 
		int maxLen = 0;
		String longestStr = null;
	 
		int length = s.length();
	 
		int[][] table = new int[length][length];
	 
		//every single letter is palindrome
		for (int i = 0; i < length; i++) {
			table[i][i] = 1;
		}
		printTable(table);
	 
		//e.g. bcba
		//two consecutive same letters are palindrome
		for (int i = 0; i <= length - 2; i++) {
			//System.out.println("i="+i+"  "+s.charAt(i));
			//System.out.println("i="+i+"  "+s.charAt(i+1));
			if (s.charAt(i) == s.charAt(i + 1)){
				table[i][i + 1] = 1;
				longestStr = s.substring(i, i + 2);
			}	
		}
		System.out.println(longestStr);
		printTable(table);
		//condition for calculate whole table
		for (int l = 3; l <= length; l++) {
			for (int i = 0; i <= length-l; i++) {
				int j = i + l - 1;
				if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
					table[i][j] = table[i + 1][j - 1];
					if (table[i][j] == 1 && l > maxLen)
						longestStr = s.substring(i, j + 1);
					
				} else {
					table[i][j] = 0;
				}
				printTable(table);
			}
		}
	 
		return longestStr;
	}
	public static void printTable(int[][] x){
		for(int [] y : x){
			for(int z: y){
				//System.out.print(z + " ");
			}
			//System.out.println();
		}
		//System.out.println("------");
	}
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(longestPalindrome2("1263625"));//babcbabcbaccba
	}
}</span>

3.中心扩展法

因为回文字符串是以中心轴对称的，所以如果我们从下标 i 出发，用2个指针向 i 的两边扩展判断是否相等，那么只需要对0到
n-1的下标都做此操作，就可以求出最长的回文子串。但需要注意的是，回文字符串有奇偶对称之分，即"abcba"与"abba"2种类型，
因此需要在代码编写时都做判断。
     设函数int Palindromic ( string &s, int i ,int j) 是求由下标 i 和 j 向两边扩展的回文串的长度，那么对0至n-1的下标，调用2次此函数：
     int lenOdd =  Palindromic( str, i, i ) 和 int lenEven = Palindromic (str , i , j )，即可求得以i 下标为奇回文和偶回文的子串长度。
     接下来以lenOdd和lenEven中的最大值与当前最大值max比较即可。
     这个方法有一个好处是时间复杂度为O(n2)，且不需要使用额外的空间。

public class LongestPalindromicSubString3 {
	public  static String longestPalindrome(String s) {
		if (s.isEmpty()) {
			return null;
		}
		if (s.length() == 1) {
			return s;
		}
		String longest = s.substring(0, 1);
		for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
			// get longest palindrome with center of i
			String tmp = helper(s, i, i);
			if (tmp.length() > longest.length()) {
				longest = tmp;
			}

			// get longest palindrome with center of i, i+1
			tmp = helper(s, i, i + 1);
			if (tmp.length() > longest.length()) {
				longest = tmp;
			}
		}
		return longest;
	}

	// Given a center, either one letter or two letter,
	// Find longest palindrome
	public static String helper(String s, int begin, int end) {
		while (begin >= 0 && end <= s.length() - 1
				&& s.charAt(begin) == s.charAt(end)) {
			begin--;
			end++;
		}
		String subS = s.substring(begin + 1, end);
		return subS;
	}

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(longestPalindrome("ABCCBA"));//babcbabcbaccba
	}
}</span>