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睡前1小时数学之矩阵及其应用
1，矩阵
矩阵这个东西。顾名思义。就是由元素组成的矩形阵列。如图。这里的元素可能是符号啊，实数，式子什么的。
而这个矩阵的意义其实在于求解线性方程组。线性方程组中的未知数的量排成一个矩阵，加上常数项，就是增广矩阵。
还有什么表示线性转换，就不讲了。反正。也不会。
2，标记。
一般将一个矩阵中的m*n个元素，简称元，数a(ij)的位于矩阵A的第i行，第j列。这个数就被叫做这个矩阵A的(i,j)元。各种的记法就不说了。都是一个东西。明白元。就好。之后就是矩阵是怎么来的。
其实矩阵一开始是用来表示线性方程组。就像上面讲的一样。给一个图式可能就会明白很多。
就是这样，在求解线性方程和快速优化DP方程组的时候都特别有用。矩阵快速幂－－就是很强大。
3，矩阵的基本运算。
这个相比于矩阵乘法就很简单了，简单明了，https://zh.wikipedia.org/wiki/矩阵 这个维基百科讲的很详细，我就简单讲讲。
1）加减法，矩阵做加法的时候，得满足两个矩阵都是m*n的范围。所以。每一位对应相加就好了。
矩阵的加减法满足结合律和交换律。（重点）
2）数乘，注意这里不是乘法，只是数乘，用一个数，去乘矩阵里的每一个数。
矩阵的数乘满足结合律和分配律。
3）转置，矩阵的转置，就是把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵。简单来讲。就是
4，关于矩阵乘法。
这个才是矩阵的重头戏。才是精髓，矩阵被定义出来求解线性方程，这个就是重头戏。
首先，矩阵乘法中，两矩阵必须满足 矩阵A mn 矩阵B nq 矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。他们的乘积求出的矩阵C 就是矩阵m*q。
给出一个矩阵乘法公式。
矩阵乘法主要满足结合律和左分配律和右分配律。但是！就是不满足交换律。
关于证明，这个很玄学。很多省队的dalao都会。这里贴上室友的博客，他写的是可以看懂，不过证明的不全，这个东西，知其意就好。
http://www.cnblogs.com/reddest/p/5919686.html
5,斐波那契数列，矩阵乘法算法。
斐波那契数列的递推式很简单 f[i]=f[i-1]+f[i-2]
这个也可以看成一个线性方程，如果，把f[i-1] ,f[i-2]看成未知数，而f[i]看成他们的函数值。这里，线性方程就有了。可是这知识一个啊。没有线性方程组。，方程组这个东西可以凑，这个可以自己组合起来，而这个构造矩阵模型，就是矩阵最难的地方，这个得自己去推算，和证明。
贴上我的方法。
既然知道方法，其实代码实现就很简单了。这里放一个简单的斐波那契数列的代码。
1 #include<cstdio> 2 #include<string.h> 3 struct node { 4 long long int v[3][3]; 5 node(){ 6 memset(v,0,sizeof(v)); 7 } 8 }a,ans; 9 int mod;10 node operator*(node x,node y)//重载运算符，这里模拟的是矩阵乘法。11 {12 node res;13 for(int i=1;i<=2;++i)14 for(int j=1;j<=2;++j)15 for(int k=1;k<=2;++k)16 {17 res.v[i][j]+=(x.v[i][k]*y.v[k][j]);18 }19 return res;20 }21 int main()22 {23 int n,t;24 scanf("%d",&n);25 while(n--)26 {27 ans.v[1][1]=1;ans.v[2][1]=1;//初始化初始矩阵1。28 a.v[1][1]=a.v[1][2]=a.v[2][1]=1;29 scanf("%d",&t);30 for(int i=1;i<t-2;i++) //注意理解乘方的概念。31 {32 ans=a*ans;33 }34 printf("%lld\n",ans.v[1][1]);35 }36 return 0;37 }
6,矩阵快速幂。
这个其实是快速幂的主要思路。不过乘法代替成矩阵乘法.
1 #include<cstdio> 2 #include<string.h> 3 struct node{ 4 int v[3][3]; 5 node(){ 6 memset(v,0,sizeof(v)); 7 } 8 }ans,a; 9 node operator*(node x,node y)10 {11 node res;12 for(int i=1;i<=2;++i)13 for(int j=1;j<=2;++j)14 {15 for(int k=1;k<=2;k++)16 res.v[i][j]+=(x.v[i][k]*y.v[k][j]);17 }18 return res;19 }20 int main()21 {22 int n;23 scanf("%d",&n);24 a.v[1][1]=a.v[1][2]=a.v[2][1]=1;25 ans.v[1][1]=1;ans.v[2][2]=1;26 for(int i=n-1;i;i>>=1,a=a*a)27 {28 if(i&1)ans=ans*a;29 }30 printf("%d",ans.v[1][1]);31 return 0;32 }
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