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poj 2478 Farey Sequence(基于素数筛法求欧拉函数)
http://poj.org/problem?id=2478
求欧拉函数的模板。
初涉欧拉函数,先学一学它基本的性质。
1.欧拉函数是求小于n且和n互质(包括1)的正整数的个数。记为φ(n)。
2.欧拉定理:若a与n互质,那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经常用于求幂的模。
3.若p是一个质数,那么φ(p) = p-1,注意φ(1) = 1。
4.欧拉函数是积性函数:
若m与n互质,那么φ(nm) = φ(n) * φ(m)。
若n = p^k且p为质数,那么φ(n) = p^k - p^(k-1) = p^(k-1) * (p-1)。
5.当n为奇数时,有φ(2*n) = φ(n)。
6.基于素数筛的求欧拉函数的重要依据:
设a是n的质因数,若(N%a == 0 && (N/a)%a == 0) 则 φ(N) = φ(N/a)*a; 若(N%a == 0 && (N/a)%a != 0) 则φ(N) = φ(N/a)*(a-1)。
该题就是基于性质六,在线性时间内求欧拉函数。
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <algorithm> #include <set> #include <map> #include <vector> #include <math.h> #include <string.h> #include <queue> #include <string> #include <stdlib.h> #define LL long long #define _LL __int64 #define eps 1e-8 #define PI acos(-1.0) using namespace std; const int maxn = 1000010; const int INF = 0x3f3f3f3f; int n; LL num[maxn]; LL phi[maxn]; //对应φ(i) int flag[maxn]; //flag[i] = 0说明i是素数,否则不是素数 int prime[maxn];//存素数 void get_phi() { int i,j,k; memset(flag,0,sizeof(flag)); phi[1] = 1; k = 0; for(i = 2; i <= maxn; i++) { if(!flag[i]) //i是素数 { phi[i] = i-1; prime[++k] = i; } for(j = 1; j <= k && prime[j]*i <= maxn; j++) { flag[i*prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0) phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j]; else phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1); } } } int main() { get_phi(); num[1] = 0; for(int i = 2; i <= maxn; i++) num[i] = num[i-1] + phi[i]; while(~scanf("%d",&n)&&n) printf("%lld\n",num[n]); return 0; }
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