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机器学习算法的R语言实现（二）：决策树
1、介绍
?决策树（decision tree）是一种有监督的机器学习算法，是一个分类算法。在给定训练集的条件下，生成一个自顶而下的决策树，树的根为起点，树的叶子为样本的分类，从根到叶子的路径就是一个样本进行分类的过程。
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?下图为一个决策树的例子，见http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%B3%E7%AD%96%E6%A0%91
? 可见，决策树上的判断节点是对某一个属性进行判断，生成的路径数量为该属性可能的取值，最终到叶子节点时，就完成一个分类（或预测）。决策树具有直观、易于解释的特性。
2、决策树生成算法
?本文主要讨论如何由一个给定的训练集生成一个决策树。如果都一个数据集合$D$，其特征集合为$A$，那么以何种顺序对A中的特征进行判断就成为决策树生成过程中的关键。首先给出一个决策树生成算法-ID3算法（参考《统计学习方法》李航著）
--------------------我是算法开始分割线-------------------------------------------
ID3算法：
输入：训练数据集D，特征集A，阈值e
输出：决策树T
（1）若D中所有样本属于同一类Ck，则T为单节点树，并将类Ck作为该节点的类标记，返回T；
（2）A为空集，T为单节点树，将D中实例数最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T；
（3）否则，计算A中各特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征值Ag；
（4）如果Ag<e，则置T为单节点树，将D中实例数最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T；
（5）否则，对Ag的每一个可能的取值ai，依Ag=ai将D分割为若干非空子集Di，将Di中实例数最大的类作为标记，构建子节点，由节点及其子节点构成树T，返回T；
（6）对第i个子节点，以Di为训练集，以 A-{Ag}为特征集，递归调用（1）~（5）步，得到子树Ti，返回Ti。
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算法第（3）步中，信息增益是评估每一个特征值对D的划分效果，划分的原则为将无序的数据变得尽量有序。评价随机变量不确定性的一个概念是熵，熵越大，不确定性越大。如果确定一个特征Ag，在确定该特征前后，D的熵的变化值就是特征Ag的信息增益。
3、熵及信息增益
熵：
设X是一个取有限个值（n）的离散随机变量，其概率分布为
\[P(X=x_{i})=P_{i}, i=1,2,...,n\]
则随机变量X的熵定义为
\[H(x) = - \sum\limits_{i = 1}^n {{P_i}\log {P_i}} \]
信息增益：
训练集为\(D\)，\(|D|\)为样本容量，设有k个类\({C_k}\),k=1,...k, \({|C_k|}\)为类\({C_k}\)的样本个数，且有\(\sum\limits_{i = 1}^k {|{C_k}|} = |D|\)
设特征A有n个不同取值\(\{ {a_{1,}}{a_2}, \cdots ,{a_n}\} \) ，根据A的值，将D划分为n个子集\({D_1},{D_2}, \cdots ,{D_n}\)， \({|D_i|}\)为\({D_i}\) 的样本数，\(\sum\limits_{i = 1}^n {|{D_i}|} = |D|\)。
记子集\({D_i}\)中属于类\({C_k}\)的样本集合为\({D_{ik}}\)，即\({D_{ik}} = {D_i} \cap {C_k}\)。
\({|D_{ik}|}\)为\({D_{ik}}\)的样本个数。
（1）数据集D的经验熵H(D)
\[H(D) = - \sum\limits_{k = 1}^K {\frac{{|{C_k}|}}{{|D|}}{{\log }_2}} \frac{{|{C_k}|}}{{|D|}}\]
（2）特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A)
\[H(D|A) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{|{D_i}|}}{{|D|}}H({D_i}) = - } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{|{D_i}|}}{{|D|}}\sum\limits_{k = 1}^K {\frac{{|{D_{ik}}|}}{{|{D_i}|}}} } {\log _2}\frac{{|{D_{ik}}|}}{{|{D_i}|}}\]
（3）计算信息增益
\[g(D,A) = H(D) - H(D|A)\]
信息增益越大，表示A对D趋于有序的贡献越大。
来自为知笔记(Wiz)
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