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约瑟夫环问题的两种实现[链表+数组]

2024-07-07 20:49:07   227人阅读

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

以下是使用循环链表和数组的两种实现：

  1 #include<iostream>
  2 using namespace std;
  3  
  4 struct Node
  5 {
  6 int data;
  7 Node *next;
  8 };
  9 void CreateLink(Node* &head,int count)
 10 {
 11 if(!head)
 12 head=new Node;
 13 head->data=http://www.mamicode.com/count;
 14 Node *pre=head;
 15 while(--count>0)
 16 {
 17 Node * cur=new Node;
 18 cur->data=http://www.mamicode.com/count;
 19 pre->next=cur;
 20 pre=cur;
 21 }
 22 pre->next=head;//连接成环
 23 }
 24 void Traval(Node *link,int num)
 25 {
 26 Node *p=link;
 27 while(num--)
 28 {
 29 cout<<p->data<<" ";
 30 p=p->next;
 31 }
 32 }
 33 void Josephus(Node *head,int m)
 34 {
 35 Node *pre,*cur;
 36 pre=cur=head;
 37 int i=1;
 38 while(true)
 39 {
 40 if (i == m)
 41 {
 42 // 踢出环
 43 cout<<cur->data<<" ";// 显示出圈循序
 44 pre->next = cur->next;
 45 delete cur;
 46 cur = pre->next;
 47 i = 1;
 48 }
 49 pre = cur;
 50 cur = cur->next;
 51 if (pre == cur)
 52 {
 53 // 最后一个
 54 cout<<cur->data<<endl;// 显示出圈循序
 55 cout<<cur->data<<" is the winner!"<<endl;
 56 delete cur;
 57 break;
 58 }
 59 i++;
 60 }
 61 }
 62 void JosephusUseArray(int count,int m)
 63 {
 64 int *player=new int[count];
 65 for(int i=1;i<=count;i++)
 66 player[i-1]=count-(i-1);
 67 int pos=-1;
 68 int k=0;//已经出局人数
 69 while(true)
 70 {
 71 if(k==count)//全部出局，游戏结束
 72 break;
 73 int i=0;
 74 while(i<m)
 75 {
 76 pos=(pos+1)%count;
 77 if(player[pos]!=-1)
 78 i++;
 79 }
 80 k++;
 81 cout<<player[pos]<<" ";
 82 player[pos]=-1;//标识已经出局玩家
 83 }
 84 delete[] player;
 85 }
 86 int main()
 87 {
 88 int count;//总人数
 89 int m;//报数间隔
 90 cout<<"Please input total player number:";
 91 cin>>count;
 92 cout<<"Input m:";
 93 cin>>m;
 94 //以下 循环链表实现
 95 Node *link=NULL;
 96 CreateLink(link,count);
 97 cout<<"玩家初始状态："<<endl;
 98 Traval(link,count);
 99 cout<<endl;
100 cout<<"Game start:"<<endl;
101 Josephus(link,m);
102 //end
103  
104 //以下 数组实现
105 JosephusUseArray(count,m);
106  
107 return 0;
108 }

 

另外，从别处看到了另一种非模拟游戏过程的数学解法，此处转载：
扩展：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int n, m, i, s = 0;
 5     printf ("N M = ");
 6     scanf("%d%d", &n, &m);
 7     for (i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         s = (s + m) % i;
10     }
11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

完结


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