如果我们想要知道的并不是绝对的是或者非，我们只想知道在是非发生的概率（只想知道概率，不想知道结果）是多少的时候：

虽然我们想要知道左边的完美数据，但是在实际生活中，我们只有右边的数据，也就是一些确定的结果，不可能有概率值这个事情让我们知道。而右边的数据可以看成是有噪声的不完美的数据。

怎么解决这样的问题呢？

有一种叫做sigmoid的函数可以满足这些要求。

这个函数(logistic function)可以把任何数转化成0到1之间的值。那么logistics regression的E_in怎么衡量呢？

假设我们的hypothesis h和真实的f差不多，那么他们两个产生同样结果的概率也差不多。而f真正产生这个结果的几率是很大的。

→→

此时，我们就可以把问题转换成，找一个几率最大的h就行了。

由于logistic function的一个特点：1–h(x)=h(–x)，可以得出h的概率为：

likelihood(h) = P(x₁)h(+x₁)×P(x₂)h(–x₂)×......P(x_N)h(–x_N)

                   = P(x₁)h(x₁)×P(x2)h(y₂x₂)×......P(x_N)h(y_Nx_N)

我们的目标就是最大化这个likelihood。

现在的目标是找一个w使得E_in最小。

又是一个凸函数，目标还是找出谷底在哪里。于是我们可以用替换的方式来解这个微分方程。

最后我们得出下图这样的解，和Linear Regression一样，找梯度是0的点；但是又和Linear Regression不一样，这不是一个线性方程式，所以要找另外一种解法。

先复习一下PLA的知错能改的解法：

上式有两个关键的地方：

(1)v：表示更新的方向（往哪个方向走）

(2)η：表示更新的大小（每次走几步）

所以抽象提炼一下，每次更新需要知道方向和该方向的长度即可：

想象一个往山谷谷底滚的球。我们需要知道滚的方向和每次滚多远。如果想要滚得很快，我们每次就挑找山谷最陡的地方往下滚。所以可以得出：

这个式子还不是线性的，我们还是没有办法解它，但是我们可以用泰勒展开（多维度）来求解：

于是我们把方程变成了关于v^T的线性方程。

当两个向量是完全反方向的时候，这两个向量的内积才会最小，才会有min的效果。因为我们要求v是单位向量，所以Ein(wt)也要normalize一下。这就是梯度下降的方法。

在推导梯度下降的时候，假定η是已知的，但是我们回头来看怎么选择η呢？

选择固定的或大或小的η都不合适，我们可以选择动态的η，使得在坡度大的时候往前走的多一点，坡度小的时候往前走的少一点。η应该和坡度成正相关。

fixed learning rate是一个固定的η，因为这个learning rate是原来η和坡度的比例系数，我们可以替代之前动态的η。

总结：

逻辑回归：

优点：计算代价不高，易于理解和实现。

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。

适用：数值型和标称型数据。

 1 #先定义一个sigmoid函数 2 def sigmoid(inX): 3     return 1.0/(1+exp(-inX)) 4 #开始计算随机梯度下降 5 def GradientDscent(data,label): 6     #将data和label矩阵化 7     dataMat = mat(data) 8     labelMat = mat(label).T 9     i,j = shape(data)10     #设置一些梯度下降算法所需要的参数11     #每次的步长12     eta = 0.00113     #最大迭代次数14     max_iteration = 50015     #先创造一个1的array赋值给w16     w= ones((j,1))17     for k in range(max_iteration):18         #遍历每一个k，优化w19         h = sigmoid(dataMat*w)20         error = (labelMat - h)21         w = w + eta*dataMat.T*error22         return w

机器学习基石(10)--Logistic Regression