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BZOJ 1044 木棍分割 解题报告（二分+DP）
来到机房刷了一道水（bian’tai）题。题目思想非常简单易懂（我的做法实际上参考了Evensgn 范学长，在此多谢范学长了）
题目摆上：
1044: [HAOI2008]木棍分割
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 3162 Solved: 1182
[Submit][Status][Discuss]
Description
有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连
接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长
度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。
Input
输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,10
00),1<=Li<=1000.
Output
输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.
Sample Input
1
1
10
Sample Output
HINT
两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)
bool check(int x/*x表示我们二分的最长段的长度*/){ if(x < p)return false; int cut = 0,add = 0; for(int i = 1;i <= n;++i){ if(add + a[i] > x){ cut++;//cut表示当前已经分割了几次 if(cut > m)return false; add = 0; } add += a[i]; } return true;}while(l <= r){ mid = (l + r) >> 1; if(check(mid))r = mid - 1; else l = mid + 1;}
接下来求完了我们需要的len，就应该求有多少种方案可以满足len了。
众所周知，动态规划的第一步是要写出状态……然后再来搞
我们设f[i][j]表示前i段一共分割了j次，设ss[i]为a[i]的前缀和，然后写出dp方程：
f[i][j] = Σf[k][j-1] 其中k要满足的条件是(1 <= k < i) && (ss[i] - ss[k] <= len)（这是很容易从题目中得出的）。
于是我们就可以完成了。
但是这样也太简单了吧……毕竟是HAOI的题目，如果这么简单就是NOIP难度了（虽然本人不否认以前的省选题目也有NOIP难度的）
然后注意到数据范围：n<=50000,0<=m<=min(n-1,1000)
我们注意到我们程序的时间复杂度实际上是O(n^2 m) 的，这明显就是爆了时间的。
那然后该怎么办呢？
我们可以注意到，如果我们设sumf 表示枚举到k的时候Σf[k][j-1]，(1 <= k < i) && (ss[i] - ss[k] <= len)，mink表示满足(1 <= k < i) && (ss[i] - ss[k] <= len)的最小的k。
其实对于 f[i][Now] ，其实是 f[mink][Last]...f[i-1][Last] 这一段 f[k][Last] 的和，mink 是满足 Sum[i] - Sum[k] <= Len 的最小的 k ，对于从 1 到 n 枚举的 i ，相对应的 mink 也一定是非递减的（因为 Sum[i] 是递增的）。我们记录下 f[1][Last]...f[i-1][Last] 的和 Sumf ，mink 初始设为 1，每次对于 i 将 mink 向后推移，推移的同时将被舍弃的 p 对应的 f[p][Last] 从 Sumf 中减去。那么 f[i][Now] 就是 Sumf 的值。（此段复制自Evensgn的博客，因为我觉得自己可能写不出来这么详细）
这样我们就不必枚举k，时间复杂度就降低到可以接受的O(nm)了。
但是这样就完成了？别天真了，还有一个坑那，时间解决了，空间呢？我们的空间复杂度是O(nm)啊，用计算器算一下明显超了。
这时候的DP有一个技巧（类似于飞扬的小鸟NOIP2014），我们发现其实j所属的那一维，只能由j-1转移而来，所以可以使用最常用的手段——滚动数组，来滚动掉第二维
使用now和pre，f[maxn][2]，now和pre只能为0或1，且pre = now^1，每完成一遍外层m循环更新now ^= 1,pre = now^1。
这样子我们的空间复杂度也降到可以接受的O（n）辣！
终于完成了，接下来就是代码了：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #include <cstdlib> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 const int maxn = 50005; 9 const int maxm = 1005;10 const int mod = 10007;11 int get_num(){12 int num = 0;13 char c;14 bool flag = false;15 while((c = getchar()) == ‘ ‘ || c == ‘\r‘ || c == ‘\n‘);16 if(c == ‘-‘)17 flag = true;18 else num = c - ‘0‘;19 while(isdigit(c = getchar()))20 num = num * 10 + c - ‘0‘;21 return (flag ? -1 : 1)*num;22 }23 int n,m;24 int a[maxn],ss[maxn];25 int f[maxn][2];26 int now,pre,len,p = 0,mid,ans = 0;27 bool check(int x){28 if(x < p)return false;29 int cut = 0,add = 0;30 for(int i = 1;i <= n;++i){31 if(add + a[i] > x){32 cut++;33 if(cut > m)return false;34 add = 0;35 }36 add += a[i];37 }38 return true;39 }40 int main(){41 memset(f,0,sizeof(f));42 memset(a,0,sizeof(a));43 memset(ss,0,sizeof(ss));44 n = get_num();45 m = get_num();46 for(int i = 1;i <= n;++i){47 a[i] = get_num();48 ss[i] = a[i] + ss[i-1];49 p = max(p,a[i]);50 }51 int l = 0,r = 50000000;52 while(l <= r){53 mid = (l + r) >> 1;54 if(check(mid))r = mid - 1;55 else l = mid + 1;56 }57 len = r + 1;58 now = 0;59 pre = now^1;60 int sumf = 0;61 int mink = 0;62 for(int i = 0;i <= m;++i){63 sumf = 0;64 mink = 1;65 for(int j = 1;j <= n;++j){66 if(i == 0)67 if(ss[j] <= len)f[j][now] = 1;68 else f[j][now] = 0;69 else{70 while(mink < j && ss[j] - ss[mink] > len){71 sumf -= f[mink][pre];72 sumf = (sumf + mod) % mod;73 mink++;74 }75 f[j][now] = sumf;76 }77 sumf += f[j][pre];78 sumf %= mod;79 }80 ans += f[n][now];81 ans %= mod;82 now ^= 1;83 pre = now ^ 1;84 }85 printf("%d %d\n",len,ans);86 return 0;87 }
附赠一张图片：
BZOJ 1044 木棍分割 解题报告（二分+DP）