Sift特征

Sift特征包含两个部分，一个是关键点（frame或者keypoint），另外一个就是在关键点处的描述子(descriptor,或者Keypoint descriptor)

在面部特征点的检测中，经常提取Sift特征。这里的Sift特征指的就是Sift描述子，在一个点处提取的Sift特征一般为128维，即4*4*8=128,4*4表示4*4的区域，8表示每个区域统计的方向。

在Vfleat中:frame 表示Keypoint,descriptor 表示Keypoint descriptor

自定义关键点：

vl_sift函数可以自定义关键点，然后计算该关键点处的描述子。

例如我们可以计算关键点在(100,100)，尺度为10,方向为?π8<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">-\frac{\pi}{8}</script>的描述子：

fc=[100;100;10;-pi/8];
[f,d]=vl_sift(I,‘frames‘,fc);

我们不指定方向，使用关键点的方向，即将方向参数设置为0，并通过参数’orientations’指定，则：

fc=[100;100;10;0];
[f,d]=vl_sift(I,‘frames‘,fc,‘orientations‘);

也可以将参数fc设置为矩阵的形式，一次计算多个关键点的描述子。特别的，一个关键点可能有多个方向，或者没有方向（图像区域为常数）

问题就来了，这里的尺度是什么？描述子的方向怎么计算的呢？如果方向是指描述子的主方向，那么通过直方图确定主方向时采用的邻域是多大呢？
如上面的函数，我们传入的尺度为10，是使用标准差为σ=10<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">\sigma=10</script>的高斯对图像进行平滑后，然后进行后面的处理吗？等等一连串的问题，使得我很模糊。
下图给出了高斯尺度示意图，其中左右表格内画红色的下划线的表示（这里我们下表都从0开始）：第1层的第0个图像，是从第0层的第3个图像下采样得到，随后第1层的第1个图像是由第1层的第0个图像再经过高斯标准差为σ2(1,0)?σ2(1,?1)???????????√<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">\sqrt{\sigma_{(1,0)}^2-\sigma_{(1,-1)}^2}</script>的高斯平滑后得到的，以次类推。。。

Vlfeat库的配置：

Vlfeat的源程序使用C语言编写，读起来和使用起来也着实让人费力。由于Vlfeat给出了能够计算给定关键点的描述子的Matlab接口函数。那么我们Matlab入口运行程序进行学习分析。
Vlfeat提供的两个版本：
(1).vlfeat-0.9.20-bin.tar.gz （编译好的二进制文件）
(2).vlfeat-0.9.20 （源文件）

1.下载完vlfeat-0.9.20后，将其解压到当前文件夹，在目录下，有个Makefile.mak文件。使用写字板或者Notepad打开，该文件内给出了需要修改的详细说明，即Customization（定制）部分。

#                                                        Customization
# --------------------------------------------------------------------
# To modify this script to run on your platform it is usually
# sufficient to modify the following variables:
#
# ARCH: Either win32 or win64 [win64]
# DEBUG: Set to yes to ativate debugging [no]
# MATLABROOT: Path to MATLAB
# MSVSVER: Visual Studio version (e.g. 80, 90, 100) [90 for VS 9.0]
# MSVCROOT: Visual C++ location [$(VCInstallDir)].
# WINSDKROOT: Windows SDK location [$(WindowsSdkDir)]
#
# Note that some of these variables depend on the architecture
# (either win32 or win64).

修改截图如下：

我们电脑上装了两个Matlab，R2014a是32位的，R2014b是64位的。

2.
方法1：双击vlfeat.vcproj打开，进入VS2010界面，点击直到完成后，在左侧的解决方案一栏，对vlfeat进行编译，即build即可。
方法2：在电脑程序目录下，找到Visio Studio Tools找到类似于Visual Studio x64 Win64 命令提示(2010)的工具，点击运行，然后在dos下，将目录切换到vlfeat-0.9.20目录，然后利用nmake命令：

nmake /f Makefile.mak

3.目的：将mex.c文件编译成供Matlab调用的二进制文件。
打开Matlab，将工程目录切换到vlfeat-0.9.20\toolbox目录下，首先修改一下vl_compile.m文件，即将mex -o，修改为mex -g，如下：

调试Sift源文件

1.打开Matlab，当然首先是要设置好包含路径，主页-设置路径-添加并包含子文件夹，将vlfeat-0.9.20添加进去。我为了省事，一般都是直接将所有的添加进去，你可以选择只需要将toolbox/mex添加到Matlab路径中。然后书写简单的代码：

%clc;clearvars;
% prepare data
imgPath=‘E:\data\lfw\imgs\Aaron_Eckhart\Aaron_Eckhart_0001.jpg‘;
bbox=[63 72 126+63 126+72];
landmark=[34 35; 53 38; 41 86; 75 90; 58 93; 59 87 ;72 40 ;94 43; 48 70; 72 72];
nlandmark=10;
isShow=false;
for i=1:nlandmark
    landmark(i,1)=landmark(i,1)+bbox(1);
    landmark(i,2)=landmark(i,2)+bbox(2);
end

if isShow
    figure(1);
    subplot(2,1,1);
    img=imread(imgPath);
    img_gray=rgb2gray(img);
    imshow(img_gray);
    hold on;
    for i=1:nlandmark
        plot(landmark(i,1),landmark(i,2),‘.r‘,‘markersize‘,8);
    end
    % for box;
    rmpath(‘E:\matlabworkplace\headpose_with_block\third_part\vlfeat-0.9.20\toolbox\noprefix‘);
    plotbox(bbox,‘r‘);
    addpath(‘E:\matlabworkplace\headpose_with_block\third_part\vlfeat-0.9.20\toolbox\noprefix‘);
end

% I = vl_impattern(‘roofs1‘) ;
% image(I) ;
% I = single(rgb2gray(I)) ;
% [f,d] = vl_sift(I) ;
% perm = randperm(size(f,2)) ;
% sel = perm(1:50) ;
% h1 = vl_plotframe(f(:,sel)) ;
% h2 = vl_plotframe(f(:,sel)) ;
% set(h1,‘color‘,‘k‘,‘linewidth‘,3) ;
% set(h2,‘color‘,‘y‘,‘linewidth‘,2) ;

pi=3.1415926;
img=imread(imgPath);
figure(1);
%subplot(1,2,1);
image(img);
img_gray=rgb2gray(img);
I=single(img_gray);
hold on;
ori=[pi/8 2*pi/8 3*pi/8 4*pi/8 5*pi/8 6*pi/8 7*pi/8 pi -pi/8 -2*pi/8];
%scale=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
scale=[1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6];
for i=1:10
    plot(landmark(i,1),landmark(i,2),‘.r‘,‘markersize‘,16);
    fc=[landmark(i,1);landmark(i,2);scale(i);ori(i)];
    [f,d]=vl_sift(I,‘frames‘,fc);
    h1=vl_plotframe(f(:,1));
    h2=vl_plotframe(f(:,1));
    set(h1,‘color‘,‘k‘,‘linewidth‘,3);
    set(h2,‘color‘,‘y‘,‘linewidth‘,2);
    name=num2str(i);
    text(landmark(i,1),landmark(i,2),name);
end
%%上面的代码可以不需要，只需要下面的代码。
figure(2);
img2 = vl_impattern(‘roofs1‘) ;
image(img2) ;
img2 = single(rgb2gray(img2)) ;
[f,d] = vl_sift(img2) ;
perm = randperm(size(f,2)) ;
sel = perm(1:50) ;
h1 = vl_plotframe(f(:,sel)) ;
h2 = vl_plotframe(f(:,sel)) ;
set(h1,‘color‘,‘k‘,‘linewidth‘,3) ;
set(h2,‘color‘,‘y‘,‘linewidth‘,2) ;
h3 = vl_plotsiftdescriptor(d(:,sel),f(:,sel)) ;
set(h3,‘color‘,‘g‘) ;

2.打开VS2010，通过菜单中的文件-打开-文件，将vlfeat-0.9.20\toolbox\sift下的vl_sift.c和vlfeat-0.9.20\vl下的sift.c添加到VS中，然后在两个文件中，设置断点就可以了。
3.在VS2010中设置为断点后，在VS菜单中工具-附加到进程，在可用进程中找到Matlab，然后双击即可。
4.运行Matlab程序，会自动跳转到VS2010设置的断点处，通过F5进行断点的切换。如下图：

参数说明

公式1：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-4">G(x;\sigma)=(g_{\sigma}*I)(x)</script>
其中gσ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">g_{\sigma}</script>是各向同性高斯核，方差为σ2I<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">{\sigma}^2I</script>。
公式2:
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-7">\sigma(o,s)=\sigma_0 2^{o+s/S},o\in o_\mathrm{min}+[0,...,O-1],s\in[0,...,S-1]</script>
注意这里的s∈[0,...,S?1]<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">s\in[0,...,S-1]</script>也着实让人迷惑的，你会在后面看到文章中又有s∈[smin,smax]<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">s \in[s_\mathrm{min},s_\mathrm{max}]</script>,其中smin=?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">s_\mathrm{min}=-1</script>,smax=S+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">s_\mathrm{max}=S+1</script>

变量	描述
NumOctaves	octaves的数目-O
FirstOctave	第一个octave的索引：omin<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">o_\mathrm{min}</script>,octave的索引范围为omin<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">o_\mathrm{min}</script>,…,omin<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">o_\mathrm{min}</script>+O-1，通常为0或者-1.将omin<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">o_\mathrm{min}</script>设置为-1，就是 在计算高斯尺度空间时，将图像长宽扩大一倍的效果 。
NumLevels	子层的数量-S
Sigma0	基平滑 Base smoothing
SigmaN	称为预平滑：这是输入图像的预平滑水平。算法假定输入图像实际上不是I(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">I(x)</script>，而是(gσn?I)(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">(g_{\sigma_n}*I)(x)</script>,调整计算的依据，通常假定σn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">\sigma_n</script>是半个像素(0.5)。因此在后面的计算高斯金字塔时，我们想使用初始的σ0=1.6<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">\sigma_0=1.6</script>进行高斯平滑，但是由于图像假定已经不是纯的I<script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">I</script>，而是进行了σn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">\sigma_n</script>的平滑，因此，我们只需要在进行σ02?σn2????????√<script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">\sqrt{{\sigma_0}^2-{\sigma_n}^2}</script>的高斯平滑就够了，其等价于原始的纯的I经过方差为σ0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-23">\sigma_0</script>的高斯平滑。就像别的文章讲的那样，如果初始的o=-1,即将原图像进行了double,即长和宽扩大了两倍，那么此时的σn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-24">\sigma_n</script>取1

检测器参数：

SIFT frame（即关键点）是差分尺度空间的局部极值点。这样的点的选择通过下面的参数控制：

变量	描述
Thread	局部极值点阈值， 如果局部极值点的|G(x;σ)|<script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">|G(x;\sigma)|</script>小于该阈值，则去掉
EdgeThreshold	局部极值定位阈值，如果局部极值点在一个山谷上，算法丢掉该极值点，因为它太不稳定了。如果极值的得分正比于其陡峭程度，并且得分又小于这个阈值的话，则丢掉该极值点
RemoveBoundaryPoints	边界点的移除，如果这个参数设置为1（即true），太接近图像边界的关键点将被移除。

描述子参数：
SIFT描述子是一个带有权重和插值的直方图，其利用梯度方向和关键点周围的块区域的位置进行计算。描述子有下面的参数：

变量	描述
Magnif	放大因子或者放大倍数m,直方图的每一个空间bin的大小为mσ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-26">m\sigma</script>(单位为像素），其中σ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">\sigma</script>是该关键点处的尺度,m一般取3.
NumSpatialBins	空间bin的数量，和下面的NumOrientBins参数一起，定义了描述子的扩展和维度。描述子的维度（bins的总数量）等于NumSpatialBins2×NumOrientBins<script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">\mathrm{NumSpatialBins}^2×\mathrm{NumOrientBins}</script>,描述子的扩展（即直方图统计区域（块））的半径为NumSpatialBins×mσ/2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">\mathrm{NumSpatialBins}×m\sigma/2</script>），例如一般为NumSpatialBins=4,NumOrientBins=8，则为4*4*8=128，即描述子的维度
NumOrientBins	方向bins的数目

代码的分析

高斯模板

一维高斯:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-30">G(x,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma}^2}} e^{\frac{-x^2}{2 {\sigma}^2}}</script>
二维高斯：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-31">G(x,y,\sigma I)=G(x,\sigma)\cdot G(y,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma}^2}} e^{\frac{-x^2}{2 {\sigma}^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma}^2}} e^{\frac{-y^2}{2 {\sigma}^2}}=\frac{1}{{2\pi {\sigma}^2}} e^{\frac{-({x^2+y^2})}{2 {\sigma}^2}}</script>

其中I<script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">I</script>是2*2的单位阵。x,y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">x,y</script>具有同样的标准差σ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">\sigma</script>。
从上面的公式，直观上我们感觉二维高斯卷积操作可以分解为分别经过x,y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">x,y</script>方向的一维操作。这里的“卷积”相当于“相关”。其中x,y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">x,y</script>表示与模板中心的位移。

证明：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-37">G(x,y)*I(x,y)=G(x)*(G(y)*I(x,y))</script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-38">\begin{equation} \begin{aligned} G(x,y)*I(x,y) &=\int_{\tau} \int_{t}G(\tau,t)I(\tau-x,t-y)dtd\tau\&=\int_{\tau} \int_{t}G(\tau)G(t)I(\tau-x,t-y)dt d\tau\&=\int_{\tau} G(\tau)\left (\int_{t}G(t)I(\tau-x,t-y)dt \right) d\tau \end{aligned} \end{equation}</script>
其中
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-39">\int_{t}G(t)I(\tau-x,t-y)dt =G(y)*I(\tau-x,y)</script>
而：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-40">\int_{\tau} G(\tau)\left (\int_{t}G(t)I(\tau-x,t-y)dt \right) d\tau =G(x)*(G(y)*I(\tau-(\tau-x),y))=G(x)*G(y)*I(x,y) </script>
平滑的高斯模板是多大的呢？即多少个像素呢？其是否与现在使用的高斯标准差（即尺度σ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">\sigma</script>）有关呢？
代码中给出了计算：
高斯模板的宽度=max(?4?σ?,1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-42">\mathrm{max}(\left \lceil 4*\sigma \right \rceil,1)</script>，这里的宽度是半径，例如对于5*5，则宽度为2，对于7*7，则宽度为3，因此高斯模板的大小为：

2?max(?4?σ?,1)+1

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-43">2*\mathrm{max}(\left \lceil 4*\sigma \right \rceil,1)+1</script>

static void
_vl_sift_smooth (VlSiftFilt * self,
                 vl_sift_pix * outputImage,
                 vl_sift_pix * tempImage,
                 vl_sift_pix const * inputImage,
                 vl_size width,
                 vl_size height,
                 double sigma)
{
  /* prepare Gaussian filter */
  if (self->gaussFilterSigma != sigma) {
    vl_uindex j ;
    vl_sift_pix acc = 0 ;//vl_sift_pix即float
    if (self->gaussFilter) vl_free (self->gaussFilter) ;
    self->gaussFilterWidth = VL_MAX(ceil(4.0 * sigma), 1) ;
    self->gaussFilterSigma = sigma ;//$\sigma$
    self->gaussFilter = vl_malloc (sizeof(vl_sift_pix) * (2 * self->gaussFilterWidth + 1)) ;//高斯滤波器,二维滤波可以等价分别x方向一维滤波，然后y方向的一维滤波，或者反过来。

    for (j = 0 ; j < 2 * self->gaussFilterWidth + 1 ; ++j) {
      vl_sift_pix d = ((vl_sift_pix)((signed)j - (signed)self->gaussFilterWidth)) / ((vl_sift_pix)sigma) ;//到高斯模板中心的偏移
      self->gaussFilter[j] = (vl_sift_pix) exp (- 0.5 * (d*d)) ;//这里并不需要乘以\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}，因为每一项都有同样的。
      acc += self->gaussFilter[j] ;
    }
    for (j = 0 ; j < 2 * self->gaussFilterWidth + 1 ; ++j) {
      self->gaussFilter[j] /= acc ;//将高斯权重归一化，使其和为1
    }
  }

  if (self->gaussFilterWidth == 0) {
    memcpy (outputImage, inputImage, sizeof(vl_sift_pix) * width * height) ;
    return ;
  }
  //进行一维卷积操作
  vl_imconvcol_vf (tempImage, height,
                   inputImage, width, height, width,
                   self->gaussFilter,
                   - self->gaussFilterWidth, self->gaussFilterWidth,
                   1, VL_PAD_BY_CONTINUITY | VL_TRANSPOSE) ;

  vl_imconvcol_vf (outputImage, width,
                   tempImage, height, width, height,
                   self->gaussFilter,
                   - self->gaussFilterWidth, self->gaussFilterWidth,
                   1, VL_PAD_BY_CONTINUITY | VL_TRANSPOSE) ;
}

例如

尺度σ=1.6<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">\sigma=1.6</script>,则进行标准差为σ2?σ2n???????√=1.5199<script type="math/tex" id="MathJax-Element-45">\sqrt{\sigma^2-\sigma_n^2}=1.5199</script>的高斯平滑，即利用G1.5199(x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">G_{1.5199}(x,y)</script>对图像I<script type="math/tex" id="MathJax-Element-47">I</script>进行平滑，其中高斯模板的大小，通过上面的红色求得为7*7。计算描述子实际窗口的区域的大小为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-48">\frac{3\sigma *\mathrm{NumSpatialBins}*\sqrt 2}{2}</script>
其中乘以2√<script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">\sqrt{2}</script>是考虑到块区域的旋转。并考虑到像素的加权和插值，因此又在上面公式加上1，变成：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-50">\frac{3\sigma *(\mathrm{NumSpatialBins}+1)*\sqrt 2}{2}</script>

附录：
两个高斯函数的卷积仍然为一个高斯函数，满足方差为两个高斯函数之和，即：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-51">\sigma_1^2+\sigma_2^2=\sigma_3^2</script>
因为二维高斯可以分解为分别进行x方向的一维高斯和y方向的一维高斯。所以这里只推导一维的情况。为了描述的统一和简洁，我们用小写的g1(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">g_1(x)</script>来表示一维高斯。
参考：http://blog.csdn.net/liguan843607713/article/details/42215965
一维高斯：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-53">g_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_1^2}},g_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}}</script>
我们令f(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">f(x)</script>表示两个高斯函数的卷积,即：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-55">\begin{equation} \begin{aligned} f(x)=g_1(x)*g_2(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}g_1(t)g_2(x-t)dt \&=\int_{-\infty}^{\infty}g_1(x-t)g_2(t)dt \end{aligned} \end{equation}</script>
我们写出完整的式子：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-56">\begin{equation} \begin{aligned} f(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{t^2}{2\sigma_1^2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-t)^2}{2\sigma_2^2}}dt \&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left [\frac{t^2}{2\sigma_1^2}+\frac{(x-t)^2}{2\sigma_2^2}\right]}dt\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left [ \left( \frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2}\right)t^2-\left (\frac{2x}{2\sigma_2^2}\right)t+\frac{x^2}{2\sigma_2^2}\right]}dt\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left [ \left( \frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2}\right)t^2-\left (\frac{x}{\sigma_2^2}\right)t\right]}dt\令a= \frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2},b=\frac{x}{\sigma_2^2},则上式变成为：\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left ( at^2-bt\right)}dt \qquad (公式1)\\end{aligned} \end{equation}</script>

我们发现e?at2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">e^{-at^2}</script>可以通过下面的形式计算:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-58">\begin{equation} \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi},其转化为极坐标形式进行推导（略）。 \end{aligned} \end{equation}</script>
而和ebt<script type="math/tex" id="MathJax-Element-59">e^{bt}</script>的定积分都没法求解。因此，我们利用变量代换的形式，将ebt<script type="math/tex" id="MathJax-Element-60">e^{bt}</script>的形式进行消掉，公式（1）转变为：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-61">\begin{equation} \begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left (t^2-\frac{b}{a}t+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)}dt\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left (t-\frac{b}{2a}\right)^2}dt \令t-\frac{b}{2a}=\tau,则上式变成为:\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a \tau^2}d\tau\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{b^2}{4a}} \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\sqrt{a} \tau)^2}d(\sqrt{a}\tau)\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{b^2}{4a}} \frac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{\pi}\将b和a的表达式带入到上式：\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{\frac{x^2}{\sigma_2^4}}{4(\frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2})}} \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2})}}\sqrt{\pi}\&=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2})}}\sqrt{\pi}\cdot e^{-\frac{x^2}{2\sigma_2^2}+\frac{\frac{x^2}{\sigma_2^4}}{4(\frac{1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2})}} \&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \end{aligned} \end{equation}</script>

上面是一维连续高斯的卷积的证明。因此在取高斯窗口大小时采用了:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-62">2*\mathrm{max}(\left \lceil 4*\sigma \right \rceil,1)+1</script>
就是为了近似的满足上面卷积的要求。即高斯积分的取值范围为(?∞,+∞<script type="math/tex" id="MathJax-Element-63">-\infty,+\infty</script>),即涵盖了高斯的所有取值。而满足上面的大小的窗口能够涵盖高斯的主要取值，所以在离散的空间，经过σ2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-64">\sigma_2</script>高斯平滑，近似的等价于先经过σ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-65">\sigma_1</script>的高斯平滑，在经过σ22?σ21???????√<script type="math/tex" id="MathJax-Element-66">\sqrt{\sigma_2^2-\sigma_1^2}</script>的高斯平滑（注意这里的σ2>σ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-67">\sigma_2>\sigma_1</script>）。

sift描述子的计算

上面的图片来至于：《图像局部不变性特征与描述》，其很好的描述了当前图像所在的尺度和实际像素大小的关系。Bp<script type="math/tex" id="MathJax-Element-68">B_p</script>就是上面描述的NumSpatialBins，m=3<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">m=3</script>:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-70">\begin{equation} \begin{aligned} \sigma \text{表示当前描述子所在的尺度}\m\sigma \text{表示一个空间bin的实际像素大小}\m \sigma \frac{B_p}{2} \text{表示4*4空间的半径} \m \sigma \frac{B_p+1}{2} \text{考虑到像素的加权和插值，在x(或y)的正负方向扩展了半个bin}\m \sigma \frac{B_p+1}{2}{\sqrt{2}} \text{考虑到图像的旋转} \end{aligned} \end{equation}</script>
下面是VLFeat中描述子计算的代码：

Since weighting and interpolation of pixel is used, the support extends by another half bin.
因为使用了像素的加权和插值，支撑范围扩展了半个bin的像素大小。

下图描述了两种度量单位：bin的单位为1，以及像素单位。1bin=mσ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-71">m \sigma</script>,其中在计算插值时，采用的像素空间为连续的取值。

空间插值：
下图右侧给出了空间方向的插值，其中大小为4*4的空间bin,图中长度的度量方式均是采用1个bin为单位。黄色的点表示当前的像素点，都带有：空间位置，梯度和梯度方向属性，其有4个邻域，其中绿色的点表示每个bin的中心，灰色的点不在bin的范围内。
方向插值：
下图，左侧给出了一个空间bin中的方向的直方图统计（采用梯度幅值进行了加权，看箭头），其中170表示当前某个像素处的梯度方向，其介于157.5和202.5（分别对应于每个bin的中心）之间，那么该像素的梯度在这两个方向bin上的加权分别为w1和w2,w1=(170-157.5)/45,w2=1-w1，其中45为bin的宽度。即将360分成8个bin，每个bin的宽度为45.

对于一个像素（即当前关键点所在的尺度图像中的一个像素），其空间位置确定了其有4个邻域，其方向确定了其有2个方向的邻域。因此共4*2=8个邻域。即利用该像素的梯度对4个相邻空间bin的每两个方向bin进行加权。

有兴趣的话，可以将空间插值和方差插值画在一起，即画在一个三维图中。

VL_EXPORT
void
vl_sift_calc_keypoint_descriptor (VlSiftFilt *f,
                                  vl_sift_pix *descr,
                                  VlSiftKeypoint const* k,
                                  double angle0)
{
  /*
     The SIFT descriptor is a three dimensional histogram of the
     position and orientation of the gradient.  There are NBP bins for
     each spatial dimension and NBO bins for the orientation dimension,
     for a total of NBP x NBP x NBO bins.

     The support of each spatial bin has an extension of SBP = 3sigma
     pixels, where sigma is the scale of the keypoint.  Thus all the
     bins together have a support SBP x NBP pixels wide. Since
     weighting and interpolation of pixel is used, the support extends
     by another half bin. Therefore, the support is a square window of
     SBP x (NBP + 1) pixels. Finally, since the patch can be
     arbitrarily rotated, we need to consider a window 2W += sqrt(2) x
     SBP x (NBP + 1) pixels wide.
  */

  double const magnif      = f-> magnif ;//3，放大倍数m

  double       xper        = pow (2.0, f->o_cur) ;//步长，针对原图像为250,250的话，如果当前的octave是0，则步长为1，如果octave=1,则步长为2,就是遍历“原图像大小”（不是原图像）的步长

  int          w           = f-> octave_width ;//250
  int          h           = f-> octave_height ;//250
  int const    xo          = 2 ;         /* x-stride *///其将梯度和方向封装在一个数组中，两两间隔，所以步长为2
  int const    yo          = 2 * w ;     /* y-stride */
  int const    so          = 2 * w * h ; /* s-stride *///遍历下一个高斯尺度图像s的步长
  double       x           = k-> x     / xper ;//关键点的位置
  double       y           = k-> y     / xper ;
  double       sigma       = k-> sigma / xper ;//当前的高斯尺度图像对应的尺度，我设置的参数为1.6（针对已知关键点，求描述子的情况）

  int          xi          = (int) (x + 0.5) ;
  int          yi          = (int) (y + 0.5) ;
  int          si          = k-> is ;//有可能是高斯差分对应的索引

  double const st0         = sin (angle0) ;//pi/2-传入的角度pi/8,这里的angle0应该是夹角。
  double const ct0         = cos (angle0) ;
  double const SBP         = magnif * sigma + VL_EPSILON_D ;//m*\sigma 即1个bin的像素大小
  int    const W           = floor
    (sqrt(2.0) * SBP * (NBP + 1) / 2.0 + 0.5) ;//窗口的半径，这里为17，即$\sigma \frac{B_p+1}{2}{\sqrt{2}$,也就是图中外接圆的半径

  int const binto = 1 ;          /* bin theta-stride *///存储的方向bin步长
  int const binyo = NBO * NBP ;  /* bin y-stride *///8*4
  int const binxo = NBO ;        /* bin x-stride *///8

  int bin, dxi, dyi ;
  vl_sift_pix const *pt ;
  vl_sift_pix       *dpt ;

  /* check bounds *///检测边界
  if(k->o  != f->o_cur        ||
     xi    <  0               ||
     xi    >= w               ||
     yi    <  0               ||
     yi    >= h -    1        ||
     si    <  f->s_min + 1    || //0<=si<=2
     si    >  f->s_max - 2     )
    return ;

  /* synchronize gradient buffer *///计算当前octave下，关键点所在的三个尺度(s0,s1,s2)图像上的梯度。问题来了，梯度的计算不是在旋转到主方向在计算吗？
  update_gradient (f) ;

  /* VL_PRINTF("W = %d ; magnif = %g ; SBP = %g\n", W,magnif,SBP) ; */

  /* clear descriptor */
  memset (descr, 0, sizeof(vl_sift_pix) * NBO*NBP*NBP) ;//为描述子分配空间，大小为8*4*4=128，descr描述子的首地址

  /* Center the scale space and the descriptor on the current keypoint.//
   * Note that dpt is pointing to the bin of center (SBP/2,SBP/2,0).
   */
  pt  = f->grad + xi*xo + yi*yo + (si - f->s_min - 1)*so ;//指向关键点处梯度的指针
  dpt = descr + (NBP/2) * binyo + (NBP/2) * binxo ;//指向了描述子的中心，（即直方图的统计中心）binyo表示一行空间bin包括了方向bin，即y_0_即4*8。

#undef atd //at已知dbinx,dbiny,dbint定位其元素值在数组中的位置
#define atd(dbinx,dbiny,dbint) *(dpt + (dbint)*binto + (dbiny)*binyo + (dbinx)*binxo)

  /*
   * Process pixels in the intersection of the image rectangle
   * (1,1)-(M-1,N-1) and the keypoint bounding box.
   */
   //处理边框[-17 17]中的每一个像素
  for(dyi =  VL_MAX (- W, 1 - yi    ) ;
      dyi <= VL_MIN (+ W, h - yi - 2) ; ++ dyi) {

    for(dxi =  VL_MAX (- W, 1 - xi    ) ;
        dxi <= VL_MIN (+ W, w - xi - 2) ; ++ dxi) {

      /* retrieve *///pt指向了关键点处的梯度指针
      vl_sift_pix mod   = *( pt + dxi*xo + dyi*yo + 0 ) ;//梯度
      vl_sift_pix angle = *( pt + dxi*xo + dyi*yo + 1 ) ;//角度//梯度和角度存储在同一个数组中，相互间隔，所以+1就可以遍历到
      vl_sift_pix theta = vl_mod_2pi_f (angle - angle0) ;//如果angle0为主方向的化，angle-angle0相当于该像素的方向与主方向之间的夹角或者差值

      /* fractional displacement */ 关键点离散像素位置和精确位置的偏移
      vl_sift_pix dx = xi + dxi - x;
      vl_sift_pix dy = yi + dyi - y;

      /* get the displacement normalized w.r.t. the keypoint,关于方向和扩展进行标准化，即除以SBP，表示转换为以1bin为单位，即转换到1bin为单位的衡量空间,方向：theta/(2pi/8),角度也是以45bin长为单位，只是换成了弧度制。
         orientation and extension */
      vl_sift_pix nx = ( ct0 * dx + st0 * dy) / SBP ;
      vl_sift_pix ny = (-st0 * dx + ct0 * dy) / SBP ;
      vl_sift_pix nt = NBO * theta / (2 * VL_PI) ;

      /* Get the Gaussian weight of the sample. The Gaussian window
       * has a standard deviation equal to NBP/2. Note that dx and dy
       * are in the normalized frame, so that -NBP/2 <= dx <=
       * NBP/2. */
      vl_sift_pix const wsigma = f->windowSize ;//2,即NBP的一半
      vl_sift_pix win = fast_expn
        ((nx*nx + ny*ny)/(2.0 * wsigma * wsigma)) ;//高斯加权，采用的是标准化到1bin为单位的空间，

      /* The sample will be distributed in 8 adjacent bins.
      //以空间插值图中最左边的黄色像素为例，其大约的位置为(nx,ny)=(-0.75,-1.35), theta=pi/4,nt=0.617那么
      //binx=floor(-0.75-0.5)=-2;左上角的点
      //biny=floor(-1.35-0.5)=-2;左上角的点，
      //bint=1;弧度
      //rbinx=-0.75-(-2+0.5)=-0.75+1.5=0.75;//其中(-2+0.5)定位(-2,-2)对应的bin的中心的x坐标。-0.75-(-2+0.5)表示黄色的点的x坐标到bin的中心点的x坐标之间的距离。
      //rbiny=-1.35-(-2+0.5)=-1.35+0.5=0.15;//同上，(-2+0.5)定位(-2,-2)对应的bin的中心的y坐标，-1.35-(-2+0.5)表示黄色的点的y坐标到bin的中心点的y坐标的距离。
      //rbint=0.617-1=0.383
      //我们知道黄色点所在的bin的中心（蓝色点）的坐标为：(-0.5,-1.5)，则dx=0.25,dy=0.15.
         We start from the ``lower-left‘‘ bin. */ 
      int         binx = (int)vl_floor_f (nx - 0.5) ;
      int         biny = (int)vl_floor_f (ny - 0.5) ;
      int         bint = (int)vl_floor_f (nt) ;
      vl_sift_pix rbinx = nx - (binx + 0.5) ;
      vl_sift_pix rbiny = ny - (biny + 0.5) ;
      vl_sift_pix rbint = nt - bint ;
      int         dbinx ;
      int         dbiny ;
      int         dbint ;

      /* Distribute the current sample into the 8 adjacent bins*/
      //例如空间插值图中，最左边的黄色点，其binx指向(-2,-2)所在的左上角的bin，那么binx+dbinx=binx+0,则表示还是指向该bin,而binx+dbinx=binx+1,则表示指向的黄色点所在的bin，对于binxy同理。再比如，最右边的黄色的点，计算的binx值应该是它所在的bin...
      for(dbinx = 0 ; dbinx < 2 ; ++dbinx) {
        for(dbiny = 0 ; dbiny < 2 ; ++dbiny) {
          for(dbint = 0 ; dbint < 2 ; ++dbint) {

            if (binx + dbinx >= - (NBP/2) &&
                binx + dbinx <    (NBP/2) &&
                biny + dbiny >= - (NBP/2) &&
                biny + dbiny <    (NBP/2) ) {
              vl_sift_pix weight = win
                * mod
                * vl_abs_f (1 - dbinx - rbinx)
                * vl_abs_f (1 - dbiny - rbiny)
                * vl_abs_f (1 - dbint - rbint) ;

              atd(binx+dbinx, biny+dbiny, (bint+dbint) % NBO) += weight ;//数组下标的离散。例如a[-2]就不是当前指针a，向前移动两步。
            }
          }
        }
      }
    }
  }

  /* Standard SIFT descriptors are normalized, truncated and normalized again */
  if(1) {

    /* Normalize the histogram to L2 unit length. */
    //descr描述子的首地址，descr+NBO*NBP*NBP描述子的尾地址
    vl_sift_pix norm = normalize_histogram (descr, descr + NBO*NBP*NBP) ;

    /* Set the descriptor to zero if it is lower than our norm_threshold *///我们这里norma_thresh=0,norm为258
    if(f-> norm_thresh && norm < f-> norm_thresh) {
        for(bin = 0; bin < NBO*NBP*NBP ; ++ bin)
            descr [bin] = 0;
    }
    else {

      /* Truncate at 0.2. */
      //不能超过0.2
      for(bin = 0; bin < NBO*NBP*NBP ; ++ bin) {
        if (descr [bin] > 0.2) descr [bin] = 0.2;
      }

      /* Normalize again. */再次进行标准化
      normalize_histogram (descr, descr + NBO*NBP*NBP) ;
    }
  }

}

代码中给出图像旋转后的坐标的计算公式为:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1025">\begin{equation} \begin{pmatrix} x‘\\ y‘ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta\\ -sin \theta& cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}(x,y \in [-r,r]) \end{equation}</script>
其他文章给出的计算公式(应该是坐标系吧？）
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1026">\begin{equation} \begin{pmatrix} x‘\\ y‘ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos \theta & -sin \theta\\ sin \theta& cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}(x,y \in [-r,r]) \end{equation}</script>
我感觉旋转后像素坐标的计算公式应该代码中是对的。其中应注意坐标系的旋转和图像的旋转，坐标系顺时针旋转30度，等于图像逆时针旋转30.
因为在VLFeat代码中，有：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1027">\theta=\pi/2-\theta_0</script>
其中θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1028">\theta</script>是输入的方向参数，取θ=?π8<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1029">\theta=-\frac{\pi}{8}</script>，我们现在测试两种情况：
一种情况是保留代码:
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1030">\theta=\pi/2-\theta_0</script>
另外一种情况，将其修改为：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1031">\theta=\theta_0</script>
下图给出了测试效果：

高斯金字塔图像

在Vlfeat的vl_sift.cpp中（为了使用opencv,mexopencv,我们将其改为了cpp文件）中添加如下的代码，输出保存高斯图像金字塔。

      if (first) {
        err   = vl_sift_process_first_octave (filt, data) ;
        //add my code,out[2]对图像进行输出
        int smax=4;
        int smin=-1;
        int ns=smax-smin+1;
        vl_sift_pix *oct0 = filt->octave ;
        int o=vl_sift_get_octave_index (filt);
        Mat mat0(M*N,ns,CV_8UC1);
        for(int k=0;k<ns;k++)
        {
            int st=k*M*N;
            for(int jj=0;jj<N;jj++)//N表示列数
                for(int ii=0;ii<M;ii++)//M表示行数
                    mat0.at<uchar>(ii+jj*N,k)=(uchar)oct0[ii+jj*N+st];
        }
        out[o+2]=MxArray(mat0);
        first = 0 ;
      } else {
        err   = vl_sift_process_next_octave  (filt) ;
        //add my code,out[2]对图像进行输出
        int smax=4;
        int smin=-1;
        int ns=smax-smin+1;
        vl_sift_pix *oct0 = filt->octave ;
        int o=vl_sift_get_octave_index (filt);
        int m=M/(pow(2.0,o));
        int n=N/(pow(2.0,o));
        Mat mat0(m*n,ns,CV_8UC1);
        for(int k=0;k<ns;k++)
        {
            int st=k*m*n;
            for(int jj=0;jj<n;jj++)//N表示列数
                for(int ii=0;ii<m;ii++)//M表示行数
                    mat0.at<uchar>(ii+jj*n,k)=(uchar)oct0[ii+jj*n+st];
        }
        out[o+2]=MxArray(mat0);

      }

下图给出了，4个octave的第一个s的图像：

下图给出了第一个octave下的6个尺度图像：

在图像框架中计算描述子

翻译：http://www.vlfeat.org/api/sift.html
为关键点附加一个描述子可以获得相似变换的不变形（或者其他的相似协变帧）。那么将图像投影到标准描述子框架中有消除图像变形的效果。
然而在实际中，在图像框架中很容易计算描述子。我们用带^<script type="math/tex" id="MathJax-Element-75">{\hat{}} </script>表示标准框架，用不带^<script type="math/tex" id="MathJax-Element-76">\hat{}</script>表示图像框架。假定标准框架和图像框架是仿射相关的：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-77">\begin{equation} \mathbf x=A\hat{\mathbf x}+T \begin{bmatrix} c\hat x\\ \hat y \end{bmatrix},\begin{bmatrix} cx\\ y \end{bmatrix} \end{equation}</script>
因此可以在图像框架中直接计算所有的量，例如无限分辨率的图像在两个框架中是相关的：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-78">\hat I_0(\hat{\mathbf x})=I_0(\mathbf x),\mathbf x=A \hat {\mathbf x}+T</script>
尺度σ^<script type="math/tex" id="MathJax-Element-79">\hat \sigma</script>的标准化的图像，与尺度图像是相关的：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-80">\hat I_{\hat \sigma}(\hat{\mathbf x})=I_{A \hat \sigma}(\mathbf x),\mathbf x=A\hat {\mathbf x}+T</script>
…..

参考文献：

1.http://www.vlfeat.org/overview/sift.html
2.http://www.vlfeat.org/api/sift.html
3.An open implementation of the SIFT detector and descriptor
sift:
4.http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/8069548 [小魏的修行路]
5.http://blog.csdn.net/zddblog/article/details/7521424 [zddhub的专栏]
6.http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7639681 [Rachel Zhang的专栏]
vlfeat:
7.http://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/50638391 [网络资源是无限的]
8.http://www.cnblogs.com/yao7837005/archive/2012/08/24/2654797.html [一直走下去]
9.http://blog.csdn.net/liguan843607713/article/details/42215965 [Object o]