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【模板】左偏树
洛谷模板题
一听左偏树这个名字就感觉左偏。。
左偏树是什么，好像就是个堆，大根堆或小根堆，可以支持合并，取堆顶元素，删除堆顶元素，插入元素的操作。
一些说明：
左偏树节点除了应有的东西，还有键值和距离，键值用于比较大小，距离是什么？
距离是这样定义的：
节点i称为外节点(external node)，当且仅当节点i的左子树或右子树为空 ( left(i) = NULL或right(i) = NULL )；节点i的距离(dist(i))是节点i到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点i本身是外节点，则它的距离为0；而空节点的距离规定为-1 (dist(NULL) = -1)。一棵左偏树的距离，指的是该树根节点的距离。
额。。多看几遍才看懂。
左偏树具体有一些性质：
[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。（键值就是点权）——堆的性质
[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。——左偏
[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。（因为左偏，所以右儿子距离小）
[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
[定理1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有2k+1-1个节点。
[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为?log(N+1)? -1。(这是什么鬼？)
根据性质就可以理解左偏树操作的具体步骤了。
合并A和B：1.如果有一个树为空就返回另一个
2.假定root(A).w < root(B).w, 否则交换A和B，把root(A)作为新树的根
3.合并right(A)和B, 继续步骤2
4.由于合并之后right(A)的距离可能会变大, 如果变大就交换right(A)和left(A)
5.由于right(A)距离改变，A的距离也会变，更新dis(A) = dis(right(A)) + 1
1 //合并以 x, y 为根的堆 2 inline int merge(int x, int y) 3 { 4 if(!x || !y) return x + y; 5 if(h[x].w > h[y].w) swap(x, y); 6 h[x].r = merge(h[x].r, y); 7 if(h[h[x].l].d < h[h[x].r].d) swap(h[x].l, h[x].r); 8 h[x].d = h[h[x].r].d + 1; 9 return x; 10 }
删除堆顶元素：删除后合并他的两个儿子即可
1 inline void pop(int x) 2 { 3 int l = h[x].l, r = h[x].r; 4 h[x].d = h[x].l = h[x].r = h[x].w = 0;//可有可无的东西 5 f[x] = f[l] = f[r] = merge(l, r); 6 //因为有的节点的父亲指向当前堆顶元素 x, 所以也修改堆顶元素的父亲 7 }
取出堆顶元素：更智障
1 inline int top(int x) 2 { 3 return h[x].w; 4 }
还有一些操作用到了并查集，具体细节看完整代码。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 4 using namespace std; 5 6 int n, m; 7 int f[100001];//表示第i个数所在堆的堆顶 8 bool b[100001];//表示是否被删除 9 struct heap 10 { 11 int l, r, w, d; 12 }h[100001];//小根堆 13 14 //合并以 x, y 为根的堆 15 inline int merge(int x, int y) 16 { 17 if(!x || !y) return x + y; 18 if(h[x].w > h[y].w) swap(x, y); 19 h[x].r = merge(h[x].r, y); 20 if(h[h[x].l].d < h[h[x].r].d) swap(h[x].l, h[x].r); 21 h[x].d = h[h[x].r].d + 1; 22 return x; 23 } 24 25 inline void pop(int x) 26 { 27 int l = h[x].l, r = h[x].r; 28 h[x].d = h[x].l = h[x].r = h[x].w = 0;//可有可无的东西 29 f[x] = f[l] = f[r] = merge(l, r); 30 //因为有的节点的父亲指向当前堆顶元素 x, 所以也修改堆顶元素的父亲 31 } 32 33 inline int top(int x) 34 { 35 return h[x].w; 36 } 37 38 inline int find(int x) 39 { 40 return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]); 41 } 42 43 int main() 44 { 45 int i, j, x, y, c, fx, fy; 46 scanf("%d %d", &n, &m); 47 for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i].w), f[i] = i; 48 for(i = 1; i <= m; i++) 49 { 50 scanf("%d", &c); 51 if(c == 1) 52 { 53 scanf("%d %d", &x, &y); 54 if(b[x] || b[y]) continue;//如果有一个数被删除 55 fx = find(x); 56 fy = find(y); 57 if(fx == fy) continue;//在同一个堆中 58 f[fx] = f[fy] = merge(fx, fy);//合并 59 } 60 else 61 { 62 scanf("%d", &x); 63 if(b[x]) printf("-1\n"); 64 else 65 { 66 fx = find(x); 67 printf("%d\n", h[fx].w); 68 b[fx] = 1; 69 pop(fx); 70 } 71 } 72 } 73 return 0; 74 }
【模板】左偏树