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减一技术应用:生成排列与幂集(Java实现)

 减一技术,与二分搜索一样,是一种通用算法设计技术。它是分治法的一种特殊形式,通过建立问题实例P(n) 与问题实例P(n-1)的递推求解关系式而实现;最经典的例子莫过于插入排序了。这里,给出减一技术在生成排列组合方面的应用。

 

(一)  排列问题: 生成自然数 1,2,,,,,n 的所有排列。

 

算法描述:

        使用减一技术,建立自然数12...n的排列与12...n-1的递推关系。假设 P(n-1) 是 自然数 12...n-1的所有排列 p1, p2,..., p(m)的集合,则P(n)通过如下方式得到: 对所有排列p1, p2, ... , p(m) , 将 n 插入到 这些排列的 n 个位置上,得到的所有排列。 例如 12的排列为 12, 21, 则123的排列通过如下方式得到: 1. 将3插入到12中,得到 312,132,123;2. 将3 插入到21中,得到 321, 231, 213. 通过小例子往往能够为问题的求解指明道路。

     “最小变化”要求: 有时,要求生成的所有排列中,相邻排列只有两个相邻位置不同。比如1234和1324是满足的,而1234和1432则不满足。上述方法生成的排列 312, 132,123, 321, 231,213 , 123和321就不满足这个要求。解决方案是,当对排列pi采用从左往右插入完成时,对相邻排列pi+1采用从右往左插入。比如1中将3插入排列12是从左往右插入;则2中应该将3从右往左插入,得到213,231,321,这样,与前面的312,132,123就满足最小变化要求了。

 

详细设计:

    1. 输入: 自然数 n

    2. 输出: 所有排列的集合,每个排列用一个链表来表示(考虑到插入操作); 所有排列用链表的可变列表(ArrayList)来表示。之所以采用这样的方式,考虑到之后可能要取出排列进行求解,比如分配问题。代价是空间效率很低。

    3. 数据结构: 使用队列来存储 n-1 的所有排列; 然后取出队列中的每个元素, 将 n 插入到其中,得到 n 的一个排列。

package algorithm.permutation;import java.util.ArrayList;import java.util.Iterator;import java.util.LinkedList;/** *  Permutation: *  Generate all the permutations of a given number. *   *  生成 n 个数 的全排列。 * */public class Permutation {	    /**      * 每一个排列使用一个 LinkedList<Integer> 来存储,     * 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的排列     *       */		private ArrayList<LinkedList<Integer>> perms;		/**	 *  使用 flag 作为交替 从左往右 和 从右往左 扫描的 标志 	 *  这样,可以实现排列“最小变化”的要求。	 *  即:每相邻的两个排列,只有两个相邻位置的不同。	 * 	 */		private int flag = 1;			/** 构造器  */		public Permutation() {				if (perms == null)			perms = new ArrayList<LinkedList<Integer>>();			}		/** 生成 n 个数的全排列,并存储在 perms 中 */		private void createPerm(int n) {				if (n <= 0)			throw new IllegalArgumentException();				if (n == 1) {			LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>();			init.add(1);			perms.add(init);		}		else {			    createPerm(n-1);			    			    // 对每一个 n-1 的排列P(n-1), 将 n 插入到该排列 P(n-1) 的 n 个可能位置上,			    // 即可得到 n 个 相应的 n 元素排列 P(n)			    			    int length = perms.size();			    for (int i=0; i < length; i++) {			       LinkedList<Integer> p = perms.get(i);			       if (flag == 0) {			    	   			    	   // flag = 0: 从左向右扫描插入			    	   				       for (int j=0; j <= p.size(); j++) {				    	  LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);					      pcopy.add(j, n);					      perms.add(pcopy);					      flag = 1;				       }				       			       }   				    else {				    					    	// flag = 1: 从右向左扫描插入				    					    	for (int j=p.size(); j >=0; j--) {					       LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);						   pcopy.add(j, n);						   perms.add(pcopy);						   flag = 0;					    }				    					    }			    } 			    			    // 删除所有的 P(n-1) 排列			    			    for (int i=0; i < length; i++) {			    	 perms.remove(0);			    }	    		}				}		/** 获取 n 个元素的全排列  */		public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPerm(int n) {				createPerm(n);			return perms;	}		/** 复制 list 的元素到另一个列表, 并返回该列表  */		private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) {				LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>();		Iterator iter = list.iterator();		while (iter.hasNext()) {			Integer i = (Integer) iter.next();			copylist.add(i);		}		return copylist;	}}

  

(二) 生成给定集合 {1,2,...,n} 的幂集,即给定自然数3,要生成其幂集: { {0}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3},{2,3},{1,2,3} }

算法描述:

      使用减一技术,建立问题实例P(n)与问题实例P(n-1)的递推求解关系。若P(n-1)是问题实例n-1的幂集,则问题实例n的幂集通过如下方式得到: powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n} ,即,对于n-1的幂集的每一个集合与{n}求并集,然后将得到的集合与n-1的幂集求并集。例如 {1} 的幂集为 {{0}, {1}} ,则 {1,2} 的幂集为 { {2} {1,2}, {0}, {1} } ,其中 {0} 表示空集, {0} ∪ {n} = {n}

 

          详细设计:

1. 输入: 自然数 n

2. 输出: {1,2,..,n}的幂集,每一个子集使用一个LinkedList来表示,幂集使用LinkedList的可变列表ArrayList来表示和存储。

 

Java代码实现:

package algorithm.permutation;import java.util.ArrayList;import java.util.Iterator;import java.util.LinkedList;/** *  PowerSet *  Generate all the subsets of a given set. *   *  生成给定集合的所有子集。 *  */public class PowerSet {		/**      * 每一个子集使用一个 LinkedList<Integer> 来存储,     * 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的子集     *       */		private ArrayList<LinkedList<Integer>> powerset;	    /** 构造器  */		public PowerSet() {				if (powerset == null)			powerset = new ArrayList<LinkedList<Integer>>();			}		/** 生成  {1,2,3,……, n} 的 幂集 */		private void createPowerset(int n) {				if (n < 0)			throw new IllegalArgumentException();				if (n == 0) {			LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>();			powerset.add(empty);		}				if (n == 1) {			LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>();			LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>();			init.add(1);			powerset.add(empty);			powerset.add(init);		}		else {			createPowerset(n-1);						// powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n}		    		    int length = powerset.size();		    for (int i=0; i < length; i++) {		           LinkedList<Integer> p = powerset.get(i);			       LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);				   pcopy.add(p.size(), n);				   powerset.add(pcopy);			       		     }       	     }		     }		/** 获取 n 个元素集合的幂集  */				public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPowerset(int n) {						createPowerset(n);				return powerset;		}		/** 复制 list 的元素到另一个列表, 并返回该列表  */				private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) {						LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>();			Iterator iter = list.iterator();			while (iter.hasNext()) {				Integer i = (Integer) iter.next();				copylist.add(i);			}			return copylist;		}			}

  

算法分析:

       减一技术的时间复杂度通常是: T(n) = T(n-1) + G(n) .

       ①  若 G(n) 为常数,则 T(n) = O(n) ;    (连续子数组的最大和)

       ②  若 G(n) 为 O(logn), 则 T(n) = O(nlogn) ;  (堆排序)

       ③   若 G(n) = an+b(a!=0) ,则 T(n) = O(n^2) .     (插入排序)

       因此, 当 G(n) 为常数或对数时, 减一技术是比较高效的。  

 

减一技术应用:生成排列与幂集(Java实现)