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[BZOJ3572][Hnoi2014]世界树
[BZOJ3572][Hnoi2014]世界树
试题描述
世界树的形态可以用一个数学模型来描述:世界树中有n个种族,种族的编号分别从1到n,分别生活在编号为1到n的聚居地上,种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连,道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构,即所有的聚居地之间可以互相到达,并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度;例如,若聚居地a和b之间有道路,b和c之间有道路,因为每条道路长度为1而且又不可能出现环,所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑,第i年,世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x(x为种族的编号),如果距离该种族最近的临时议事处为y(y为议事处所在聚居地的编号),则种族x将接受y议事处的管辖(如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样,则y为其中编号最小的临时议事处)。
现在国王想知道,在q年的时间里,每一年完成授权后,当年每个临时议事处将会管理多少个种族(议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理)。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你:程序猿。请帮国王完成这个任务吧。
输入
第一行为一个正整数n,表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行,每行两个正整数x,y,表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q,表示国王询问的年数。
接下来q块,每块两行:
第i块的第一行为1个正整数m[i],表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]],表示被授权为临时议事处的聚居地编号(保证互不相同)。
输出
输出包含q行,第i行为m[i]个整数,该行的第j(j=1,2…,,m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。
输入示例
10 2 1 3 2 4 3 5 4 6 1 7 3 8 3 9 4 10 1 5 2 6 1 5 2 7 3 6 9 1 8 4 8 7 10 3 5 2 9 3 5 8
输出示例
1 9 3 1 4 1 1 10 1 1 3 5 4 1 3 1 1
数据规模及约定
N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000
题解
建出虚树后 dp 求出距离虚树上每个点最近的议事点在哪以及到它的距离。
然后考虑虚树上每条边对两个端点所对应的议事点的答案的贡献,不妨设两个端点分别为 a 和 b,边长为 d,a 到它最近的议事点距离为 f[a],b 到它最近的议事点距离为 f[b],那么需要求这么一个 x 使得 f[a] + x = f[b] + (d - x),解得 x = [(f[b] - f[a] + d) / 2](向下取整)。这个 x 是干什么的呢?就是从 b 在原树中向上走 x 单位的长度所经过的点的议事点都是 b 所对应的议事点(因为这些点离 b 更近),在往上的点就该去 a 了,注意当 (f[b] - f[a] + d) 为偶数时,会有一个正中间的点,即到 a 和到 b 的距离相等,这时记得特判一下。我们把 b 向上 x 个单位的点设为 mid。那么这条边对于 b 的贡献为 siz[mid] - siz[b],对于 a 的贡献为 siz[son] - siz[mid],其中 son 是 a, b 路径上 a 的第一个儿子,siz[u] 表示原树中以 u 为根的子树的大小。注意上面的都是不包含 a, b 两个点的,还需要把没被统计的点加上,这个东西不难处理,读者不妨想一想。
还有这题输出格式是行末带空格的。。。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); } return x * f; } #define maxn 300010 #define maxm 600010 #define maxlog 20 #define oo 2147483647 int n, m, head[maxn], next[maxm], to[maxm]; void AddEdge(int a, int b) { to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m; swap(a, b); to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m; return ; } int ord[maxn], clo, dep[maxn], fa[maxlog][maxn], siz[maxn]; void build(int u) { ord[u] = ++clo; siz[u] = 1; for(int i = 1; i < maxlog; i++) fa[i][u] = fa[i-1][fa[i-1][u]]; for(int e = head[u]; e; e = next[e]) if(to[e] != fa[0][u]) { dep[to[e]] = dep[u] + 1; fa[0][to[e]] = u; build(to[e]); siz[u] += siz[to[e]]; } return ; } int lca(int a, int b) { if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b); for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(dep[a] - (1 << i) >= dep[b]) a = fa[i][a]; for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(fa[i][a] != fa[i][b]) a = fa[i][a], b = fa[i][b]; return a == b ? a : fa[0][b]; } bool cmp(int a, int b) { return ord[a] < ord[b]; } int cpi, Ps[maxn], psi[maxn], cp, ps[maxn], vis[maxn]; bool flg[maxn]; int M, Head[maxn], Next[maxm], To[maxm], Dist[maxm]; void Add2(int a, int b, int c) { // printf("%d -- %d : %d\n", a, b, c); To[++M] = b; Dist[M] = c; Next[M] = Head[a]; Head[a] = M; swap(a, b); To[++M] = b; Dist[M] = c; Next[M] = Head[a]; Head[a] = M; return ; } int f[maxn], id[maxn], ans[maxn]; void dp1(int u, int pa) { // printf("u: %d\n", u); f[u] = id[u] = oo; if(flg[u]) f[u] = 0, id[u] = u; flg[u] = 0; for(int e = Head[u]; e; e = Next[e]) if(To[e] != pa) { dp1(To[e], u); int tmp = f[To[e]] + Dist[e]; if(tmp < f[u]) f[u] = tmp, id[u] = id[To[e]]; else if(tmp == f[u] && id[To[e]] < id[u]) id[u] = id[To[e]]; } return ; } void dp2(int u, int pa) { for(int e = Head[u]; e; e = Next[e]) if(To[e] != pa) { int tmp = f[u] + Dist[e]; if(tmp < f[To[e]]) f[To[e]] = tmp, id[To[e]] = id[u]; else if(tmp == f[To[e]] && id[u] < id[To[e]]) id[To[e]] = id[u]; dp2(To[e], u); } // printf("f[%d] = %d, id[%d] = %d\n", u, f[u], u, id[u]); return ; } int jump(int u, int d) { for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(d >= (1 << i)) d -= (1 << i), u = fa[i][u]; return u; } void process(int u, int pa) { int S = siz[u]; for(int e = Head[u]; e; e = Next[e]) if(To[e] != pa) { int tmp = f[u] - f[To[e]] + Dist[e] >> 1; if(f[u] - f[To[e]] + Dist[e] & 1) ; else tmp -= id[u] < id[To[e]]; int mid = jump(To[e], tmp), son = jump(To[e], Dist[e] - 1); // printf("processing: (%d %d) mid(%d) son(%d)\n", u, To[e], mid, son); ans[id[u]] += siz[son] - siz[mid]; ans[id[To[e]]] += siz[mid] - siz[To[e]]; S -= siz[son]; process(To[e], u); } ans[id[u]] += S; Head[u] = 0; return ; } int main() { n = read(); for(int i = 1; i < n; i++) { int a = read(), b = read(); AddEdge(a, b); } build(1); // for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", ord[i], i < n ? ‘ ‘ : ‘\n‘); int q = read(); while(q--) { cpi = read(); cp = 0; for(int i = 1; i <= cpi; i++) { Ps[i] = psi[i] = read(); ps[++cp] = psi[i]; flg[ps[cp]] = 1; vis[ps[cp]] = q + 1; } sort(psi + 1, psi + cpi + 1, cmp); for(int i = 1; i < cpi; i++) { int c = lca(psi[i], psi[i+1]); if(vis[c] != q + 1) ps[++cp] = c, vis[c] = q + 1; } sort(ps + 1, ps + cp + 1, cmp); int rt = ps[1], dr = dep[rt]; M = 0; for(int i = 1; i < cp; i++) { int a = ps[i], b = ps[i+1], c = lca(a, b); Add2(b, c, dep[b] - dep[c]); if(dep[c] < dr) dr = dep[c], rt = c; } int tmp = siz[rt]; if(rt != 1) siz[rt] = n; dp1(rt, 0); dp2(rt, 0); for(int i = 1; i <= cpi; i++) ans[psi[i]] = 0; process(rt, 0); siz[rt] = tmp; if(cpi > 1){ for(int i = 1; i <= cpi; i++) printf("%d ", ans[Ps[i]]); putchar(‘\n‘); } else printf("%d\n", n); } return 0; }
[BZOJ3572][Hnoi2014]世界树