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斐波那契数列以及斐波那契数列的衍生形式 利用矩阵快速幂求解
一、斐波那契数列F[n]=F[n-1]+F[n-2]
可转换为矩阵s[1,1,1,0]的n次幂的矩阵的s[0][1]的值
矩阵的幂次方 可通过 奇判断及进制移位提高时间效率
位与运算 n&1表示的意思:取二进制n的最末位,二进制的最末位为零表示n为哦数,为1表示奇数,即等价于n%2
n>>1 是将n的二进制向右移动一位, n>>=1 即把移动后的值赋给n
题目:求斐波那契数列F[n]%10000(取模)
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 10000; int fast_mod(int n) // 求 (t^n)%MOD { int t[2][2] = {1, 1, 1, 0}; int ans[2][2] = {1, 0, 0, 1}; // 初始化为单位矩阵 int tmp[2][2]; //自始至终都作为矩阵乘法中的中间变量 while(n) { if(n & 1) //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp,然后用 ans = tmp * t { for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j < 2; ++j) tmp[i][j] = ans[i][j]; ans[0][0] = ans[1][1] = ans[0][1] = ans[1][0] = 0; // 注意这里要都赋值成 0 for(int i = 0; i < 2; ++i) // 矩阵乘法 { for(int j = 0; j < 2; ++j) { for(int k = 0; k < 2; ++k) ans[i][j] = (ans[i][j] + tmp[i][k] * t[k][j]) % MOD; } } } // 下边要实现 t *= t 的操作,同样要先将t赋值给中间变量 tmp ,t清零,之后 t = tmp* tmp for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j < 2; ++j) tmp[i][j] = t[i][j]; t[0][0] = t[1][1] = 0; t[0][1] = t[1][0] = 0; for(int i = 0; i < 2; ++i) { for(int j = 0; j < 2; ++j) { for(int k = 0; k < 2; ++k) t[i][j] = (t[i][j] + tmp[i][k] * tmp[k][j]) % MOD; } } n >>= 1; } return ans[0][1]; } int main() { int n; while(scanf("%d", &n) && n != -1) { printf("%d\n", fast_mod(n)); } return 0; }
二、斐波那契数列的衍生数列
根据斐波那契数列的矩阵法,得到此题 的结果应为s[2][2]={1,8,1,0}的n-2次幂的矩阵的s[0][0]+s[0][1]的值
#include<iostream> const long long MOD=100000007; using namespace std; int main() { long long n,h; int i,j,k; while(cin>>n) { long long f[2][2]={1,0,0,1}; long long s[2][2]={1,8,1,0}; long long t[2][2]; if(n==1||n==2) cout<<1<<endl; else { n=n-2; while(n) { if(n%2!=0) { for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) t[i][j]=f[i][j]; for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) f[i][j]=0; for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j < 2; ++j) for(int k = 0; k < 2; ++k) f[i][j] = (f[i][j]+t[i][k]*s[k][j])%MOD; } for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) t[i][j]=s[i][j]; for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) s[i][j]=0; for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j < 2; ++j) for(int k = 0; k < 2; ++k) s[i][j] = (s[i][j]+t[i][k]*t[k][j])%MOD; n>>=1; } h=(f[0][0]+f[0][1])%MOD; cout<<h<<endl; } } return 0; }
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