SICP 习题1.41 看似和周边的题目没有关系，突然叫我们去定义一个叫double的过程，其实这道题的核心还是高阶函数。

题目要求我们定义一个过程double，它以一个过程作为参数，这个作为参数的过程已经约定是一个单参数过程。double过程需要返回一个过程，所返回的过程将传入的过程应用两次。

举例说，如果我们有个过程叫（扇耳光 贱人），调用这个过程会扇贱人一个耳光。

那么（double 扇耳光）会返回另一个过程，这个过程没有名字，我们暂且叫他“扇俩耳光”吧，调用(扇俩耳光 贱人)就会扇贱人两个耳光了。

也就是说((double 扇耳光) 贱人)这样的调用会扇贱人两个耳光。

好，题目问我们(((double ( double double)) inc) 5)的结果是什么，其中inc方法会给传入参数加1.

要完成这道题，先看看double如何定义吧。

完全按照题目意思，定义的double如下：

(define (double f)
  (lambda (x) 
    (f (f x)))) 

为了测试，我定义了一个我自己的inc过程

(define (my-inc x)
  (+ x 1))

最后直接测试

(define test-it (((double ( double double)) my-inc) 5))

结果是21，也就是5+16，就是做了16次加一的操作。

为什么呢？

我们可以一步一步展开

;首先将不同的double标号，分别是double1 , double2, double3，这样比较清晰
(define step1 (((double1 ( double2 double3)) my-inc) 5))

;然后将（double2 double3)展开：
(define step2 (((double1 (lambda (x) (double3 (double3 x)))) my-inc) 5))

;将(lambda (x) (double3 (double3 x))) 命名为lam1:
(define (lam1 x) (double3 (double3 x)))

;这样step2就等同于下面的step3:
(define step3 (((double1 lam1) my-inc) 5))

;再将(double1 lam1)展开：
(define step4 (((lambda (x) (lam1 (lam1 x))) my-inc) 5))

;将my-inc代入step4中得lambda中：
(define step5 ((lam1 (lam1 my-inc)) 5))

;将里面的lam1还原回原来的定义：
(define step6 ((lam1 (double3 (double3 my-inc))) 5))

;将里面的(double3 my-inc)展开：
(define step7 ((lam1 (double3 (lambda (x) (my-inc (my-inc x))))) 5))

; 将step7里的lambda定义为lam2:
(define (lam2 x) (my-inc (my-inc x)))

；那么step7可以转换为：
(define step8 ((lam1 (double3 lam2)) 5))

; 再将step8中的(double3 lam2)展开得到step9:
(define step9 ((lam1 (lambda (x) (lam2 (lam2)))) 5))

；将step9中得lambda函数定义为lam3:
(define (lam3 x) (lam2 (lam2)))

；那么step9就可以转换成step10这样：
(define step10 ((lam1 lam3) 5))

; 将step10中的lam1恢复成原来的定义：
(define step11 ((double3 (double3 lam3)) 5))

;将(double3 lam3)展开：
(define step12 ((double3 (lambda (x) (lam3 (lam3 x)))) 5))

;将step12中的lambda函数命名为lam4:
(define (lam4 x) (lam3 (lam3 x)))

；则step12可以表示成step13这样：
(define step13 ((double3 lam4) 5))

;将(double3 lam4)展开：
(define step14 ((lambda (x) (lam4 (lam4 x))) 5))

;将5代入step14中的lambda过程中：
(define step15 (lam4 (lam4 5)))

;将lam4还原回原始定义：
(define step16 (lam3 (lam3 (lam3 (lam3 5)))))

;将lam3还原回原始定义：
(define step17 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 5)))))))))

;将lam2还原回原始定义:
(define step18 (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc 5)))))))))))))))))

；结果就是21了：
(define step19 21)

以上的分析过程比较繁琐，不过也比较详细。

如果从抽象一点的层面来看的话，也可以用另外一种方法

考察以下方法：

(((double ( double double)) my-inc) 5)

double过程的作用是将任何方法嵌套调用两次。

而(double double)就是将double嵌套调用两次，结果就是将任何方法嵌套调用4次。

如果有(define four-time (double double))的话，fourtime过程将任何方法嵌套调用4次。

’

进一步看得话(double (double double))相当于(double four-time)。

相当于是(four-time (four-time x))

这里要特别注意，两次four-time的嵌套调用并不是4+4次，而是4*4次调用，就是16次调用。

习题1.41解题完成，这道题也可以很好地帮助同学们理解高阶函数，特别是高阶函数的嵌套。