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SICP 习题 (2.11)解题总结:区间乘法的优化

SICP 习题 2.11又出现Ben这个人了,如以前说到的,只要是Ben说的一般都是对的。


来看看Ben说什么,他说:“通过监测区间的端点,有可能将mul-interval分解为9中情况,每种情况中所需要的乘法都不超过两次”。

所以这个叫Ben的人建议Allysa重写mul-interval过程。


到底是啥意思呢,我们先来看看以前的mul-interval过程:

(define (mul-interval x y)
  (let (( p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
	( p2 (* (lower-bound x) (upper-bound y)))
	( p3 (* (upper-bound x) (lower-bound y)))
	( p4 (* (upper-bound x) (upper-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
		   (max p1 p2 p3 p4))))


可以发现,这里使用了4次乘法,然后取4此乘法的最小值为起点,最大值为终点。

按Ben的意思,我们可以将这4次乘法减少为两次,前提是对区间的端点进行判断。


其实我们自己想一想大概能够明白Ben这段神秘的话。 比如,如果相乘的两个区间都是完全大于零的区间,两个区间的起点相乘肯定是4次乘法中最小的值,而两个终点相乘肯定是4次乘法中的最大的,这样我们只需要计算两个起点相乘,还有就是两个终点相乘就可以了。这样我们就可以使用2次乘法完成工作,而不用4次。


不过,对我们程序员来讲工作就复杂很多了,我们需要取判断这9中情况,分别想好9种情况种选用什么作为结构的起点和终点,最后写出来的代码如下,巨烦琐:

(define (mul-interval x y)
  (if (> (lower-bound x) 0)
      (if (> (lower-bound y) 0)
	  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	  (if (> (upper-bound y) 0)
	      (make-interval (* (upper-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (make-interval (* (lower-bound x) (upper-bound y)) (* (lower-bound x) (upper-bound y)))))
      (if (> (upper-bound x) 0)
	  (if (> (lower-bound y) 0)
	      (make-interval (* (lower-bound x) (upper-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (if (> (upper-bound y) 0)
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y))
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))))
	  (if (> (lower-bound y) 0)
	      (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (if (> (upper-bound y) 0)
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y))))) )))



有人可能会问,把原来那个如此优雅的过程写成现在这样有意思吗?一堆丑陋的判断!

这里需要理解的就是,如果系统中乘法是一个消耗很大的操作,比如每个乘法消耗2秒,这样我们做这个优化就有意义的,虽然我们写的代码丑很多,麻烦很多,不过代码运行效率就比较高了。



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