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求两个数的最大公约数

2024-08-16 16:31:16   220人阅读

求两个数的最大公约数

 

 

问题：给定两个正整数a和b，求他们的最大公约数。

  • 最简单的方法就是穷举法，如果a>b，那么依次计算1~b的所有整数是否是a和b的公约数。
    public static void main(String[] args) {
        long timer = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getGCB(1000234234,1242342390));
        System.out.println(System.currentTimeMillis() - timer);
    }
    private static int getGCB(int a, int b){
        int result = 0;
        for(int i = 2; i < b; i++){
            if(a % i == 0 && b % i == 0){
                result = i;
            }
        }
        return result;
    }
运行时间为：6767ms（随着a、b的值越大该时间越长），在节省一点时间效率就是sqrt(b)
  • 辗转相除法，如果a>b，a和b的最大公约数为b和a%b的最大公约数。
    public static void main(String[] args) {
        long timer = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getGCB(1999999250,42342355));
        System.out.println(System.currentTimeMillis() - timer);
    }
    private static long getGCB(long a, long b){
        if(b == 0)
            return a;
        return getGCB(b, a% b);
    }
时间效率是0
  • a和b（a>b）最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数
public static void main(String[] args) {
        long timer = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getGCB(1999999250,33442355));
        System.out.println(System.currentTimeMillis() - timer);
    }
    private static int getGCB(int a, int b){
        if(a == b)
            return a;
        else if(a > b)
            return getGCB(a - b, b);
        else{
            return getGCB(b - a, a);
        }
    }
本方法可能出现异常，此为程序超出的Java虚拟机栈的大小，StackOverflowError错误。

  • 移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中getGCB(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：

    当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

    当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

    当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

    当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

public static void main(String[] args) {
        long timer = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(getGCB(1934232340,234232265));
        System.out.println(System.currentTimeMillis() - timer);
    }
    private static int getGCB(int a, int b){
        if(a == b)
            return a;
        else if(a > b)
            return getGCB(b, a);
        else{
            if((a&1) != 1 && (b&1) != 1)
                return getGCB(b >> 1, a >> 1)<<1;
            else if((a&1) != 1 && (b&1) == 1)
                return getGCB(a >> 1, b);
            else if((a&1) == 1 && (b&1) != 1)
                return getGCB(a, b>>1);
            else{
                return getGCB(a, b -a);
            }
        }
    }

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