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Kosaraju 算法
Kosaraju 算法
一.算法简介
在计算科学中，Kosaraju的算法（又称为–Sharir Kosaraju算法）是一个线性时间(linear time)算法找到的有向图的强连通分量。它利用了一个事实，逆图（与各边方向相同的图形反转, transpose graph）有相同的强连通分量的原始图。
有关强连通分量的介绍在之前Tarjan 算法中：Tarjan Algorithm
逆图(Tranpose Graph ):
我们对逆图定义如下：
GT=(V, ET)，ET={(u, v):(v, u)∈E}}
上图是有向图G ， 和图G的逆图 GT
摘录维基百科上对Kosaraju Algorithm 的描述：
(取自https://en.wikipedia.org/wiki/Kosaraju%27s_algorithm)
- For each vertex u of the graph, mark u as unvisited. Let L be empty.
- For each vertex u of the graph do Visit(u), where Visit(u) is the recursive subroutine:
- If u is unvisited then:
- Mark u as visited.
- For each out-neighbour v of u, do Visit(v).
- Prepend u to L.
- Otherwise do nothing.
- If u is unvisited then:
- For each element u of L in order, do Assign(u,u) where Assign(u,root) is the recursive subroutine:
- If u has not been assigned to a component then:
- Assign u as belonging to the component whose root is root.
- For each in-neighbour v of u, do Assign(v,root).
- Otherwise do nothing.
- If u has not been assigned to a component then:
通过以上的描述我们发现，Kosaraju 算法就是分别对原图G 和它的逆图 GT 进行两遍DFS，即：
1).对原图G进行深度优先搜索，找出每个节点的完成时间(时间戳)
2).选择完成时间较大的节点开始，对逆图GT 搜索，能够到达的点构成一个强连通分量
3).如果所有节点未被遍历，重复2). ，否则算法结束；
二.算法图示
上图是对图G,进行一遍DFS的结果，每个节点有两个时间戳，即节点的发现时间u.d和完成时间u.f
我们将完成时间较大的，按大小加入堆栈
1)每次从栈顶取出元素
2)检查是否被访问过
3)若没被访问过，以该点为起点，对逆图进行深度优先遍历
4)否则返回第一步，直到栈空为止
[ATTENTION] : 对逆图搜索时，从一个节点开始能搜索到的最大区块就是该点所在的强连通分量。
从节点1出发，能走到 2 ，3，4 ， 所以{1 , 2 , 3 , 4 }是一个强连通分量
从节点5出发，无路可走，所以{ 5 }是一个强连通分量
从节点6出发，无路可走，所以{ 6 }是一个强连通分量
自此Kosaraju Algorithm完毕，这个算法只需要两遍DFS即可，是一个比较易懂的求强连通分量的算法。
三.算法复杂度
邻接表：O(V+E)
邻接矩阵：O(V2)
该算法在实际操作中要比Tarjan算法要慢
四.算法模板&注释代码
1 #include "cstdio" 2 #include "iostream" 3 #include "algorithm" 4 5 using namespace std ; 6 7 const int maxN = 10010 , maxM = 50010; 8 9 struct Kosaraju { int to , next ; } ;10 11 Kosaraju E[ 2 ][ maxM ] ;12 bool vis[ maxN ];13 int head[ 2 ][ maxN ] , cnt[ 2 ] , ord[maxN] , size[maxN] ,color[ maxN ];14 15 int tot , dfs_num , col_num , N , M ;16 17 void Add_Edge( int x , int y , int _ ){//建图 18 E[ _ ][ ++cnt[ _ ] ].to = y ;19 E[ _ ][ cnt[ _ ] ].next = head[ _ ][ x ] ;20 head[ _ ][ x ] = cnt[ _ ] ;21 }22 23 void DFS_1 ( int x , int _ ){24 dfs_num ++ ;//发现时间 25 vis[ x ] = true ;26 for ( int i = head[ _ ][ x ] ; i ; i = E[ _ ][ i ].next ) {27 int temp = E[ _ ][ i ].to;28 if(vis[ temp ] == false) DFS_1 ( temp , _ ) ;29 }30 ord[(N<<1) + 1 - (++dfs_num) ] = x ;//完成时间加入栈 31 }32 33 void DFS_2 ( int x , int _ ){34 size[ tot ]++ ;// 强连通分量的大小 35 vis[ x ] = false ;36 color[ x ] = col_num ;//染色 37 for ( int i=head[ _ ][ x ] ; i ; i = E[ _ ][ i ].next ) {38 int temp = E[ _ ][ i ].to;39 if(vis[temp] == true) DFS_2(temp , _);40 } 41 }42 43 int main ( ){44 scanf("%d %d" , &N , &M );45 for ( int i=1 ; i<=M ; ++i ){46 int _x , _y ;47 scanf("%d %d" , &_x , &_y ) ;48 Add_Edge( _x , _y , 0 ) ;//原图的邻接表 49 Add_Edge( _y , _x , 1 ) ;//逆图的邻接表 50 }51 for ( int i=1 ; i<=N ; ++i ) 52 if ( vis[ i ]==false ) 53 DFS_1 ( i , 0 ) ;//原图的DFS 54 55 for ( int i = 1 ; i<=( N << 1) ; ++i ) {56 if( ord[ i ]!=0 && vis[ ord[ i ] ] ){57 tot ++ ; //强连通分量的个数 58 col_num ++ ;//染色的颜色 59 DFS_2 ( ord[ i ] , 1 ) ;60 }61 }62 63 for ( int i=1 ; i<=tot ; ++i )64 printf ("%d ",size[ i ]);65 putchar (‘\n‘);66 for ( int i=1 ; i<=N ; ++i )67 printf ("%d ",color[ i ]);68 return 0;69 }
2016-09-18 00:16:19
(完)
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