本篇文章主要介绍2-3树，并由2-3树重点介绍RB树（红黑树）
后附完整代码

2-3树

1. 2-3树
2-3树概念：
一颗2-3查找树，或为空树，或为由2-结点，3-结点构成的树。
2-结点：含有一个键值对和两个链接，左链接的结点均小于该结点，右链接的结点均大于该结点。
3-结点：含有两个键值对和三个链接，左链接的结点小于该节点的小的键值，中链接介于该结点的两个键值之间，右链接大于改结点的大的键值。
2. 2-3树的查找添加
1）.查找：
参照上一篇文章，实现较为简单，即比较需要查找的key值和x.left，x.right比较，递归实现。
2）.添加：
添加首先需要查找添加到的正确位置；
然后主要两类（其他都可以由这两个变换出）：
一：添加到空结点—直接添加，或者向2-结点添加（2-结点变为3-结点实现）；
二：向3-结点的树增加新键值，1.创建一个4-结点，2.将4-结点分解为两个2-结点树；
<如向一个父结点为3-结点的3-结点添加新键值，同样先变为4-结点，再递归往上变为3-结点，若递归到跟结点仍为4-结点，则直接分解根结点>

红黑树

1.红黑树定义
基本思想：
用标准的二叉查找树（全部由2-结点组成）和一些额外信息（颜色：红黑）表示的2-3树。
其中，其满足以下三个含有红黑链的二叉查找树：
1>红链接均为做链接；
2>没有任何一个结点是同时由两个红链接组成；
3>该树是完美黑色平衡（即：任意空链接到根结点路径上的黑链接数目相同）。

红黑树的添加操作

为什么会有红黑树的旋转操作？为什么会有左右链接和颜色转换？
因为必须保证树是完美黑色平衡的。
所以在涉及红黑树的操作，如增加时：
我们必须保证刚刚增加的结点的链接颜色是红色的。（这样递归增加这样的结点时候，树就是红黑树了）
假如我们刚刚增加的结点是大于根结点的，这个时候就需要用到左旋转了。
而右旋转则是因为存在两条连续的红色做链接，所以这时候需要右旋转后再左旋转。

* 红黑树的旋转*
1）.结点内部类定义：

    private class Node
    {
        private int N;
        private Node left,right;
        private Key key;
        private Value val;
        boolean color;
        public Node(Key key,Value val,int N,boolean color)
        {
            this.key = key;
            this.val = val;
            this.N = N;
            this.color = color;
        }
    }

2）.左旋转：
存在右边链接为红色的结点。
实现如下：

    private Node rotateLeft(Node h)
    {
        Node x = h.right;
        h.right = x.left;
        x.left = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        x.N = h.N;
        h.N = size(h.left) + size(h.right)+1;
        return x;
    }

3）.右旋转：
存在两条连续的左链接为红色。
如：x.left = RED && x.left.left = RED;
实现：

    private Node rotateRight(Node h)
    {
        Node x = h.left;
        h.left = x.right;
        x.right = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        x.N = h.N;
        h.N = size(h.left) + size(h.right)+1;
        return x;
    }

4）.颜色转换

    //此函数是copy网站的,原本实现需要创建两个类似函数
    //一个是用于put添加操作:将结点变为红色(因为两个链接为红链接)
    //一个用于删除操作:将结点变为黑色,两个链接变为红色.
    // flip the colors of a node and its two children
    private void flipColors(Node h) {
        // h must have opposite color of its two children
        // assert (h != null) && (h.left != null) && (h.right != null);
        // assert (!isRed(h) &&  isRed(h.left) &&  isRed(h.right))
        //    || (isRed(h)  && !isRed(h.left) && !isRed(h.right));
        h.color = !h.color;
        h.left.color = !h.left.color;
        h.right.color = !h.right.color;
    }

添加操作put实现：

    private Node put(Node h, Key key, Value val)
     { 
        //Recursive comparison the node insertion location
        //添加的结点,显然是要设置为红色的
        if (h == null) 
            return new Node(key, val, 1, RED);

        int cmp = key.compareTo(h.key);
        if      (cmp < 0) 
            h.left  = put(h.left,  key, val); 
        else if (cmp > 0) 
            h.right = put(h.right, key, val); 
        else             
            h.val   = val;

        //每一次递归增加元素，都需要修复红黑树，以保证三个定义.
        // fix-up any right-leaning links
        if (isRed(h.right) && !isRed(h.left))     
            h = rotateLeft(h);
        if (isRed(h.left)  &&  isRed(h.left.left)) 
            h = rotateRight(h);
        if (isRed(h.left)  &&  isRed(h.right))    
            flipColors(h);
        h.N = size(h.left) + size(h.right) + 1;

        return h;
    }

红黑树删除操作

删除操作时，我们必须保证删除的不是2-结点，因为2-结点删除后悔形成一个空链接，从而破坏了红黑树的第三个定义。

1. 2-3-4树的插入算法
<此算法实现沿路径既能向上也能向下进行变换的操作>
分为两部分：
1>向下变换
保证当前结点不是4-结点，当遇到父结点为2-结点的4-结点，将4-结点分为两个2-结点，并且将中间键值传给父结点（父结点变为3-结点）； 当遇到父结点为3-结点的4-结点，同样将上一操作（此时父结点变为4-结点——用向上变换摊平）。
2>向上变换
将之前创建的4-结点配平（分解为三个2-结点，高度增加1）。
此算法在红黑树上的实现：
1>将4-结点分解为三个2-结点子树，用红链接连接起来；
2>向下过程（递归过程）将所有4-结点进行颜色转换；
3>向上过程，分解旋转分解所有4-结点（配平）。
2. 删除最小键
由红黑书的第三个定义可以知道，删除键时，假如删除的是2-结点，会形成一个空链接，从而导致第三个定义不符合。因此，删除红黑树键时，当前结点必须是3-结点或者是4-结点。
完成以上要求的，必须满足一下情况之一：
1>假如当前结点不是2-结点；
2>当前结点的左子结点是2-结点，而当前结点的兄弟结点不是2-结点，此时需要借一个结点进行删除操作；
3>以上两个条件均不符合时，则将父结点和与当前结点相邻的结点合并为3-结点或者4-结点。
三个过程如下图：

实现如下：

    public void deleteMin()
    {
        if(!isRed(root.left) && !isRed(root.right))
            root.color = RED;
        root = deleteMin(root);
        if(isEmpty())
            root.color = BLACK;
    }

    private Node deleteMin(Node h)
    {
        if(h.left == null)
            return null;
        if(!isRed(h.left) && !isRed(h.left.left))
            h = moveRedLeft(h);  //因为是删除最小值操作,所以若删除的是黑链接,形成的空链接必定破坏平衡性.
        h.left = deleteMin(h.left);

        return balance(h);
    }

其中moveRedLeft（删除的结点是红色）如下：

    private Node moveRedLeft(Node h)
    {
        flipColors(h);
        if(isRed(h.right.left))
        {
            //红链接往右移动,这样就保证了删除最小值h.right.left后,仍然是黑色平衡
            h.right = rotateRight(h.right);
            //而上一部的操作,可能会让h.right结点为红色,所以修复
            h = rotateLeft(h);
        }
        return h;
    }

其中banlance函数（删除后，修复红黑树）实现如下：

    private Node balance(Node h)
    {
        if(isRed(h.right))
            h = rotateLeft(h);
        if(isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
            h = rotateRight(h);
        if(isRed(h.right) && !isRed(h.left))
            h = rotateLeft(h);
        if(isRed(h.left) && isRed(h.right))
            flipColors(h);

        h.N = size(h.left)+size(h.right)+1;
        return h;   
    }

3. 删除任意键
与删除最小键值类似，必须确保删除的结点不是2-结点.
1>当删除节点是位于底部时，可以直接删除；不是底部，则和上一篇文章，删除二叉搜索树的结点类似。
2>删除后，仍需使用回溯并分解剩余的4-结点。
实现：

 public void delete(Key key) { 
        if (!(get(key) != null)) return;
        if (!isRed(root.left) && !isRed(root.right))
            root.color = RED;
        root = delete(root, key);
        if (!isEmpty()) root.color = BLACK;
    }
    private Node delete(Node h, Key key) { 
        if (key.compareTo(h.key) < 0)  {
            if (!isRed(h.left) && !isRed(h.left.left))
                h = moveRedLeft(h);
            h.left = delete(h.left, key);
        }
        else {
            if (isRed(h.left))
                h = rotateRight(h);
            if (key.compareTo(h.key) == 0 && (h.right == null))
                return null;
            if (!isRed(h.right) && !isRed(h.right.left))
                h = moveRedRight(h);
            if (key.compareTo(h.key) == 0) {
                Node x = min(h.right);
                h.key = x.key;
                h.val = x.val;
                h.right = deleteMin(h.right);
            }
            else h.right = delete(h.right, key);
        }
        return balance(h);
    }

参照网站:http://algs4.cs.princeton.edu/30searching/

算法第四版