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数位类统计问题--数位DP

2024-07-05 17:37:38   222人阅读

有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。这类问题往往需要一些预处理，这就用到了数位DP。

本文地址：http://www.cnblogs.com/archimedes/p/numerical-digit-dp.html，转载请注明源地址。

基础知识

[l,r] 意为 l<=且<=r的数

[l,r) 意为 l<=且< r的数

(l,r] 意为 l<且<=r的数

(l,r) 意为 l<且< r的数

其实方括号意味着取等，小括号意味着不取等
经常需要统计区间[l,r]的满足题意的数的个数，这往往可以转换成求[0,r]-[0,l)。对于求区间[0,n)有一个通用的方法：
对于一个小于n的数，肯定是从高位到低位出现某一位<n对应的那一位。

如 n = 58 n为十进制数。

   x = 49 此时x的十位<n的十位

   x = 51 此时x的个位<n的个位

有了上述性质，我们就可以从高到低枚举第一次<n对应位是哪一位。这样之前的位确定了，之后的位就不受n的限制即从00...0~99...9，可以先预处理，然后这时就可以直接统计答案。

预处理f数组F[i,st] 代表位数为i（可能允许前导0。如00058也是个5位数），状态为st的方案数。这里st根据题目需要确定。

如 i=4，f[i,st] 也就是0000~9999的符合条件的数的个数（十进制），决策第i位是多少(such as 0~9)

F[i,st] = F[i,st] + f[i–1,st‘]    st‘为相对应的状态

实例应用

HDU2089

Problem Description
杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

Input
输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

Output
对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

Sample Input
1 100
0 0
 
Sample Output
80

题目大意：给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。

如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。

0<n<=m<1000000

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int dp[8][10];

void init()
{
    int i, j, k;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    for(i = 1; i <= 7; i++)
        for(j = 0; j <= 9; j++)
            for(k = 0; k <= 9; k++)
                if((j != 4) && !(j == 6 && k == 2))
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
}

int solve(int n)
{
    int len, ans, i, j;
    len = ans = 0;
    int digit[10];
    init();
    while(n > 0){
        digit[++len] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    digit[len+1] = 0;
    for(i = len; i; i--) {
        for(j = 0; j < digit[i]; j++) {
            if(j != 4 && !(digit[i+1] == 6 && j==2))
                ans += dp[i][j];
        }
        if(digit[i] == 4 || (digit[i] == 2 && digit[i+1] == 6))
            break;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int m, n;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) && (n || m)){
        printf("%d\n", solve(m + 1) - solve(n));
    }
    return 0;
}
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HDU3652

Problem Description
A wqb-number, or B-number for short, is a non-negative integer whose decimal form contains the sub- string "13" and can be divided by 13. For example, 130 and 2613 are wqb-numbers, but 143 and 2639 are not. Your task is to calculate how many wqb-numbers from 1 to n for a given integer n.
 
Input
Process till EOF. In each line, there is one positive integer n(1 <= n <= 1000000000).

Output
Print each answer in a single line.

Sample Input
13
100
200
1000

 
Sample Output
1
1
2
2

题目大意：求小于n是13的倍数且含有‘13‘的数的个数。

算法:

同样参照前面的思想，先预处理，再统计。
题目需要包含13，且被13整除，我们就设计状态f[i,j,k,l]代表i位数中第一位是j的，是否有包含13(k == 1 or 0)，模13余数是l的数有几个。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
int dp[10][13][2][2], digit[10];
/*
dp[len][remain][mask][state] 
len: 长度
remain: 余数
mask: 是否包含13
state: 前缀是否为1
*/

int dfs(int len, int remain, bool mask, bool state, bool fp)
{
    int ret, fpmax, i;
    if(!len)   //当每位数字都枚举完(即len=0)的时候，只有remain等于0，mask等于1的状态才是有效的
        return remain == 0 && mask ? 1:0;
    if(!fp && dp[len][remain][mask][state] != -1)  //没有上限并且已被访问过
        return dp[len][remain][mask][state];
    ret = 0;
    fpmax = fp ? digit[len]:9;  //判断当前这个数的范围
    for(i = 0; i <= fpmax; i++){
        ret += dfs(len - 1, (remain * 10 + i) % 13, (mask || (state && i == 3)), i == 1, fp && i == fpmax);
    }
    if(!fp)
        dp[len][remain][mask][state] = ret;
    return ret;
}
int fun(int n)
{
    int len = 0;
    while(n){      //将整数n分解每位依次存入数组digit
        digit[++len] = n % 10; 
        n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, 0, 0, true);
}
int main()
{
    int n;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    while(~scanf("%d", &n)){
        printf("%d\n", fun(n));
    }
    return 0;
}
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参考资料：
《初探数位类统计问题》
《浅谈数位类统计问题》--刘聪
 


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