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数位DP
什么是数位 DP
在信息学竞赛中，有一类难度不大但异常麻烦的问题——数位计数问题，这类问题的主要特点是询问的答案和一段连续的数的各个数位相关，并且需要对时间效率有一定要求。由于解决这类问题往往意味着巨大的代码量，而众多的特殊情况又意味着出现错误的巨大可能性，因此很少有人愿意解决此类问题，但只要掌握好的方法，解决这类问题也并非想象中的那样困难。
---------高逸涵《数位计数问题解法研究》
数位DP的解题思路
对于一个数，若其首位已经比询问上界小，则剩余位没有任何限制。此时如果能直接处理这一情况，则问题距离解决又会迈出一大步。
例如，在十进制下，计算[10000,54321]内的数字和，我们可以将其分解为：
[10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999],[50000,54321]。
前四个区间如果可以直接解决，则只需处理最后一个区间，进一步将最后一个区间划分为：
[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999],[54000,54321]。
同理将最后一个区间划分下去，最后可以得到以下区间划分：
[10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999]，
[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999]，
[54000,54099],[54100,54199],[54200,54299]，
[54300,54309],[54310,54319]，
[54320,54321]
数位DP的经典模板
该模板出处不详，大大降低了数位DP类问题的难度。
1 typedef long long LL; 2 const int maxn=22; 3 int dig[maxn]; 4 LL f[maxn]/* [TODO] */; 5 6 LL dfs(int pos,/* TODO */,int limit){ 7 if (pos<0) return /* TODO */; 8 if (!limit&&f[pos]/* [TODO] */!=-1) return f[pos]/* [TODO] */; 9 LL res=0;10 int last=limit?dig[pos]:9;11 for (int i=0;i<=last;i++){12 res+=dfs(pos-1,/* TODO */,limit&&(i==last));13 }14 if (!limit) f[pos]/* [TODO] */=res;15 return res;16 }17 18 LL solve(LL n){19 int len=0;20 while (n){21 dig[len++]=n%10;22 n/=10;23 }24 return dfs(len-1,/* TODO */,1);25 }
经典题目
HDU 2089 不要62
求给定区间中不含有62和4的数的个数。
1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int limit){ 2 if (pos<0) return fg==0; 3 if (!limit&&f[pos][pre][fg]!=-1) return f[pos][pre][fg]; 4 LL res=0; 5 int last=limit?dig[pos]:9; 6 for (int i=0;i<=last;i++){ 7 res+=dfs(pos-1,i,fg||((pre==6)&&(i==2))||(i==4),limit&&(i==last)); 8 } 9 if (!limit) f[pos][pre][fg]=res;10 return res;11 }
HDU 3555 Bomb
求给定区间的含有49的数的个数。
1 LL dfs(int pos,int pre,int istrue,int limit){ 2 if (pos<0) return istrue; 3 if (!limit && f[pos][pre][istrue]!=-1) return f[pos][pre][istrue]; 4 int last=limit?dig[pos]:9; 5 LL ret=0; 6 for (int i=0;i<=last;i++){ 7 int ok=(pre==4)&&(i==9); 8 ret+=dfs(pos-1,i,istrue||ok,limit&&(i==last)); 9 }10 if (!limit) f[pos][pre][istrue]=ret;11 return ret;12 }
windy 数
求给定区间范围内的，求相邻数位之差绝对值不小于2的数的个数。
1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int limit){ 2 if (pos<0) return 1; 3 if (!limit && f[pos][pre][fg]!=-1) return f[pos][pre][fg]; 4 int last=limit?dig[pos]:9; 5 LL ret=0; 6 for (int i=0;i<=last;i++){ 7 if (fg==0||abs(i-pre)>=2) 8 ret+=dfs(pos-1,i,fg||i,limit&&(i==last)); 9 }10 if (!limit) f[pos][pre][fg]=ret;11 return ret;12 }
HDU 3709 Balanced Number
平衡数。数n以数n中的某个位为支点，每个位上的数权值为（数字xi*（posi - 支点的posi）），如果数n里有一个支点使得所有数权值之和为0那么她就是平衡数。比如4139，以3为支点，左边 = 4 * (4 - 2) + 1 * (3 - 2) = 9，右边 = 9 * (1 - 2) = -9，左边加右边为0，所以4139是平衡数。现在给出一个区间[l,r]，问区间内平衡数有多少个？
1 LL dfs(int pos,int o,int pre,int limit){ 2 LL res=0; 3 if (pos<0) return pre==0; 4 if (!limit&&f[pos][o][pre]!=-1) return f[pos][o][pre]; 5 int last=limit?dig[pos]:9; 6 for (int i=0;i<=last;i++){ 7 res+=dfs(pos-1,o,pre+i*(pos-o),limit&&(i==last)); 8 } 9 if (!limit) f[pos][o][pre]=res;10 return res;11 }12 13 LL solve(LL n){14 if (n<0) return 0;15 if (n==0) return 1;16 int len=0;17 while (n){18 dig[len++]=n%10;19 n/=10;20 }21 LL ans=0;22 for (int i=0;i<len;i++){23 ans+=dfs(len-1,i,0,1);24 }25 ans=ans-len+1;26 return ans;27 }
CodeForces 55D Beautiful numbers
如果一个数能够被其每个数位的数都整除，那么这个数就叫做美丽数。
1 int check(int bit,int mod){ 2 for (int i=2;i<=9;i++){ 3 if (bit&(1<<(i-2))){ 4 if (mod%i) return 0; 5 } 6 } 7 return 1; 8 } 9 10 LL dfs(int pos,int bit,int mod,int limit){11 if (pos<0) return check(bit,mod);12 if (!limit && f[pos][bit][mod]!=-1) return f[pos][bit][mod];13 int last=limit?dig[pos]:9;14 LL ret=0;15 for (int i=0;i<=last;i++){16 int nbit=bit;17 if (i>=2) nbit|=1<<(i-2);18 ret+=dfs(pos-1,nbit,(mod*10+i)%MOD,limit&&(i==last));19 }20 if (!limit) f[pos][bit][mod]=ret;21 return ret;22 }
HDU 3652 B-number
求小于n是13的倍数且含有‘13‘的数的个数。
1 LL dfs(int pos,int pre,int fg,int md,int limit){ 2 if (pos<0) return fg&&(md==0); 3 if (!limit&&f[pos][pre][fg][md]!=-1) return f[pos][pre][fg][md]; 4 LL res=0; 5 int last=limit?dig[pos]:9; 6 for (int i=0;i<=last;i++){ 7 res+=dfs(pos-1,i,fg||(pre==1&&i==3),(md*10+i)%13,limit&&(i==last)); 8 } 9 if (!limit) f[pos][pre][fg][md]=res;10 return res;11 }
HDU 4352 XHXJ‘s LIS
求[L,R]内最长递增子序列是k的数的个数。
1 LL f[maxn][1<<10][11]; 2 int K; 3 int dig[maxn]; 4 int getLIS(int bit){ 5 int res=0; 6 for (int i=0;i<10;i++){ 7 if (bit&(1<<i)) res++; 8 } 9 return res;10 }11 int gaoBit(int bit,int d){12 if (bit&(1<<d)) return bit;13 if ((1<<d)>bit) return bit|(1<<d);14 bit|=(1<<d);15 for (int i=d+1;i<10;i++){16 if (bit&(1<<i)) return bit^(1<<i);17 }18 return 0;19 }20 21 LL dfs(int pos,int bit,int limit){22 if (pos<0) return getLIS(bit)==K;23 if (!limit&&f[pos][bit][K]!=-1) return f[pos][bit][K];24 LL res=0;25 int last=limit?dig[pos]:9;26 for (int i=0;i<=last;i++){27 28 int go;29 if (bit==0&&i==0) go=0;30 else go=gaoBit(bit,i);31 res+=dfs(pos-1,go,limit&&(last==i));32 }33 if (!limit) f[pos][bit][K]=res;34 return res;35 }36 37 LL solve(LL n){38 int len=0;39 while (n){40 dig[len++]=n%10;41 n/=10;42 }43 return dfs(len-1,0,1);44 }
HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻
中文题。需要推公式。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 const int maxn=22; 7 const int MOD=1e9+7; 8 9 10 typedef pair<LL,LL> PII;11 typedef pair<PII,LL> PIII;12 13 inline LL fst(PIII a){14 return a.first.first;15 }16 inline LL sec(PIII a){17 return a.first.second;18 }19 inline LL thd(PIII a){20 return a.second;21 }22 inline PIII makeZeroPIII(){23 return make_pair(make_pair(0,0),0);24 }25 inline PIII makeOnePIII(){26 return make_pair(make_pair(1,0),0);27 }28 LL power[maxn];29 PIII f[maxn][11][8];30 bool v[maxn][11][8];31 int dig[maxn];32 33 PIII gao(PIII a, PIII b,int i,int pos){34 PIII res=makeZeroPIII();35 res.first.first=(fst(a)+fst(b))%MOD;//数量36 res.first.second=(sec(a)+sec(b)+((i*power[pos])%MOD*fst(b))%MOD)%MOD;//和37 res.second=(thd(a)+thd(b)+((2*i*power[pos])%MOD*sec(b))%MOD+(((i*i*power[pos])%MOD*power[pos])%MOD*fst(b))%MOD)%MOD;//平方和38 return res;39 }40 41 PIII dfs(int pos,int pre,int sev,int limit){42 if (pos<0) {43 if (pre!=0&&sev!=0) return makeOnePIII();44 else return makeZeroPIII();45 }46 if (!limit&&v[pos][pre][sev]) return f[pos][pre][sev];47 PIII res=makeZeroPIII();48 int last=limit?dig[pos]:9;49 for (int i=0;i<=last;i++){50 if (i==7) continue;51 PIII tmp=dfs(pos-1,(pre*10+i)%7,(sev+i)%7,limit&&(i==last));52 res=gao(res,tmp,i,pos);53 }54 if (!limit){55 v[pos][pre][sev]=true;56 f[pos][pre][sev]=res;57 }58 return res;59 }60 61 LL solve(LL n){62 int len=0;63 while (n){64 dig[len++]=n%10;65 n/=10;66 }67 PIII ans = dfs(len-1,0,0,1);68 return thd(ans);69 }70 71 int main()72 {73 memset(v,0,sizeof(v));74 memset(power,0,sizeof(power));75 power[0]=1;76 for (int i=1;i<maxn;i++){77 power[i]=(power[i-1]*10)%MOD;78 }79 int T;80 cin>>T;81 while (T--){82 LL a,b;83 cin>>a>>b;84 cout<<(solve(b)-solve(a-1)+MOD)%MOD<<endl;85 }86 return 0;87 }
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