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等角投影及计算公式

2024-07-29 22:33:12   225人阅读

等角投影中，没有消失点，观察者的目光始终是平行的，投影方向与坐标轴的角度是固定值，虽然这样看上去略有失真，但是总体来讲立体感还是很明显的，重要的是：不管你把等角投影所形成的立体图形放在屏幕上哪一个位置，看上去都是相同的。

 

原书作者还给出了一个演示，用于帮助大家理解：在线演示

很明显：一个立方体的（正方形）顶部面，在经过等角投影后，在屏幕上会发生形变，成为一个菱形。(点击刚才的在线演示中的true isometric按钮，观察front视图中立方体的顶部)

上图是正方形经过标准等角投影后得到的菱形，其左右侧的角度为60度，通过计算可以得到长宽比例为1.73，但是这个比例通常在计算时，会弄出很多小数位，而且绘图师们也比较烦这个比例(因为用ps等软件画图时，同样也要设置长或宽为小数位才能保证这个比例)

 

所以在实际情况中，更常用的是"二等角"来代替"等角"(点击刚才的在线演示中的dimetric按钮，观察front视图中立方体的顶部)

可以看出，“二等角投影”形成的菱形要比“等角投影”更扁一些，但这种图形的宽/高比例正好是2，处理起来很方便，也好记忆。

 

有了上面这些基础，就可以来做些正经事儿了，思考一个问题：在常规3D空间中的图形，经过二等角投影(为方便起见，以下把二等角投影也通称为等角投影)后，要经过怎样的计算（或转换），才能得到最终的图形呢？

 

有鉴于任何几何图形，总是由若干个点连接而成的，我们先来定义一个常规的Point3D类：

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package {
    public class Point3D {
        public var x:Number;
        public var y:Number;
        public var z:Number;
        public function Point3D(x:Number=0,y:Number=0,z:Number=0) {
            this.x=x;
            this.y=y;
            this.z=z;
        }
    }
}

所以上面的问题也可以简化为：等角空间中3D坐标点，如何转换为电脑屏幕上的2D坐标点？(或者反过来转换？)

转化公式： x1 = x - z y1 = y * 1.2247 + (x + z) * 0.5 z2 = (x + z) * 0.866 - y * 0.707 --用于层深排序，可以先不管

上面的公式可以把等角空间中的坐标点，转化为屏幕空间上的坐标点。(好奇心强烈的童鞋们，自己去看原书上的推导过程吧，我建议大家把这它当成定理公式记住就好，毕竟我们不是在研究数学)

为了方便以后重用，可以把这个公式封装到类IsoUtil.as里

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package {
 
    import flash.geom.Point;
    public class IsoUtils {
 
        //public static const Y_CORRECT:Number=Math.cos(- Math.PI/6)*Math.SQRT2;       
        public static const Y_CORRECT:Number = 1.2247448713915892;
 
        //把等角空间中的一个3D坐标点转换成屏幕上的2D坐标点
        public static function isoToScreen(pos:Point3D):Point {
            var screenX:Number=pos.x-pos.z;
            var screenY:Number=pos.y*Y_CORRECT+(pos.x+pos.z)*0.5;
            return new Point(screenX,screenY);
        }
 
        //把屏幕上的2D坐标点转换成等角空间中的一个3D坐标点
        public static function screenToIso(point:Point):Point3D {
            var xpos:Number=point.y+point.x*.5;
            var ypos:Number=0;
            var zpos:Number=point.y-point.x*.5;
            return new Point3D(xpos,ypos,zpos);
        }
    }
}

用代码来画一个等角图形，测试上面的代码是否正确

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package {
     
    import flash.display.Sprite;
    import flash.display.StageAlign;
    import flash.display.StageScaleMode;
    import flash.geom.Point;
     
    [SWF(backgroundColor=0xefefef,height="200",width="300")]
    public class IsoTransformTest extends Sprite {
        public function IsoTransformTest() {
            stage.align=StageAlign.TOP_LEFT;
            stage.scaleMode=StageScaleMode.NO_SCALE;
             
            var p0:Point3D=new Point3D(0,0,0);
            var p1:Point3D=new Point3D(100,0,0);
            var p2:Point3D=new Point3D(100,0,100);
            var p3:Point3D=new Point3D(0,0,100);
             
            var sp0:Point=IsoUtils.isoToScreen(p0);
            var sp1:Point=IsoUtils.isoToScreen(p1);
            var sp2:Point=IsoUtils.isoToScreen(p2);
            var sp3:Point=IsoUtils.isoToScreen(p3);
             
            var tile:Sprite = new Sprite();
            tile.x=150;
            tile.y=50;
            addChild(tile);
             
            tile.graphics.lineStyle(0);
            tile.graphics.moveTo(sp0.x, sp0.y);
            tile.graphics.lineTo(sp1.x, sp1.y);
            tile.graphics.lineTo(sp2.x, sp2.y);
            tile.graphics.lineTo(sp3.x, sp3.y);
            tile.graphics.lineTo(sp0.x, sp0.y);
             
            trace(Math.cos(- Math.PI/6)*Math.SQRT2);//1.2247448713915892           
            trace(tile.width,tile.height);//200 100 符合上面提到的2:1
        }
    }
}

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