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最大子段和问题解析

2024-09-16 22:19:29   217人阅读

来源：http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7489759

题目描述：

       最大子段和：给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n

       例如：31 -41 59 26 -53  58 97 -93 -23 84

       子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。

 

第一种：直接穷举法:

 

 1     #include <iostream>  
 2     using namespace std;  
 3       
 4     int main()  
 5     {  
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};  
 7        int sum;  
 8        int maxsofar=0;  
 9        for(int  i = 0 ;i< 10;++i)//控制子数组开始位置  
10        {  
11            for(int j = i; j< 10 ;++j)//控制子数组结束位置  
12            {  
13                     sum=0;  
14                 for(int k=i;k<j;++k)   
15                      sum+=a[k];  
16       
17                 if(maxsofar<sum)  
18                     maxsofar=sum;  
19            }  
20        }  
21       
22        cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;  
23       
24        return 0;  
25     }

 

时间复杂度为O(n*n*n)


第二种：带记忆的递推法：

 

 1     #include <iostream>  
 2     using namespace std;  
 3       
 4     int main()  
 5     {  
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};  
 7        int sum;  
 8        int maxsofar=0;  
 9        int current[10];  
10        current[0]=a[0];  
11        for(int i=1 ;i< 10;++i)      //首先生成个数为1，2，3……10个的数组和  
12        {  
13           current[i]=current[i-1]+a[i];         
14        }  
15       
16        for(int  i=0;i< 10;++i)  
17        {  
18            for(int j=i;j< 10;++j)     //下面通过已求出的和递推  
19            {  
20                sum=current[j]-current[i-1];  
21       
22                if(sum>maxsofar)  
23                    maxsofar=sum;  
24            }  
25        }  
26       
27        cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;  
28       
29        return 0;  
30     }

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

第三种：动态规划


     下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和。

                       b[j]的当前值只有两种情况: 

                                  (1) 最大子段一直连续到a[j] 

                                  (2) 以a[j]为起点的子段  //如果不是第（1）种，则（1）肯定为负，舍去

      还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子段在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

      由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]},
      所求的最大子段和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

 1     #include <iostream>  
 2     using namespace std;  
 3       
 4     int main()  
 5     {  
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};  
 7         
 8        int b=0,sum=a[0];  
 9       
10             for(int i=0;i<10;i++)  
11             {  
12                  if(b>0)  
13                       b+=a[i];  
14                  else  
15                       b=a[i];//如果前面为零，如果相加，则影响后面结果，所以抛弃前面总和  
16                  if(b>sum)   
17                       sum=b;    
18             }  
19       
20       
21        cout<<"MaxSum:"<<sum<<endl;  
22       
23        return 0;  
24     }

算法复杂度：O(n)

这个算法只能够求得最大子段和，不能够明确得出最大子段的位置。

算法三的另一段参考代码：

技术分享 
 1     public int maxSubsequence(int[] array) {  
 2             if (array.length == 0) {  
 3                 return 0;  
 4             }  
 5             int max = Integer.MIN_VALUE;  
 6             int[] maxSub = new int[array.length];  
 7             maxSub[0] = array[0];  
 8             max=maxSub[0];
 9               
10             for (int i = 1; i < array.length; i++) {  
11                 maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];   
12                 if (max < maxSub[i]) {  
13                     max = maxSub[i];  
14                 }  
15             }  
16             return max;  
17         }
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