理解矩阵背后的现实意义

线性空间中的运动，被称为线性变换。

矩阵的本质是运动的描述。vs “矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

　　矩阵的定义：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。

　　矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。

1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。
3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。

理解矩阵乘法

 *矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。 * 

下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。

x 和 t 的关系如下。

有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。

上面的方程组可以整理成下面的形式。

最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

理解矩阵