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简单的数学思想

l  筛法求素数

把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列, 1不是素数,首先把它筛掉剩下的数中选择最小的数是素数,然后去掉它的倍数。依次类推,直到筛子为空时结束。如有:

1 2 3 4 5 6 7 89 10

11 12 13 14 1516 17 18 19 20

21 22 23 24 2526 27 28 29 30

1不是素数,去掉。剩下的数中2最小,是素数,去掉2的倍数,余下的数是:

3 5 7 9 11 13 1517 19 21 23 25 27 29

剩下的数中3最小,是素数,去掉3的倍数,如此下去直到所有的数都被筛完,求出的素数为:

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

l  辗转相除法 

是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的:

⒈若 r 是 a ÷ b 的余数,且r不为0,则

gcd(a,b) =gcd(b,r)

⒉ a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是:

⒈令r为a/b所得余数(0≤r<b)

若 r= 0,算法结束;b 即为答案。

⒉互换:置 a←b,b←r,并返回第一步。

l  康托展开

把一个整数X展开成如下形式:

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个小的数可以这样考虑:

第一位是3,当第位的数小于3时,那排列数小于321 如 123 213,小于3的数有1、2 。所以有2*2!。再看小于第位2的:小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数0*1! ,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个小数。

l  逆康托展开

例1 {1,2,3,4,5}的全排列,并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

用23去除3! 得到3余5

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5(4在之前出现过,所以实际比5小的数是3个)

用5去除2!得到2余1

有2个数比它小的数是3,第三位是3

用1去除1!得到1余0

有1个数比它小的数是2,第二位是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4(因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2)

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3(因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1)

有1个数比它小得数是2 但由于1,3,4已经在之前出现过了所以是5(因为1,3,4在之前出现过了所以实际比5小的数是1)

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

l  同余定理    

许多的数被一个数d去除,有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说ab是模d同余的。因为他们都有相同的余数1

数学上的记法为:

a≡ b(mod d)

可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商.

对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a和b是模d同余的.

(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

(3) d整除a-b.

可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.