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方阵求值——上三角行列式、定义(康拓展开求值)
Problem：求方阵A的值。
设求n*n的矩阵：加法的操作次数为P(n)，乘法的操作次数与为M(n)。
对于方法1：
j1~jn共有n!种选法：j1有n种选法，j2有n-1种选法，…，jn有1种选法。
P(n)=n!-1
M(n)=n!*(n-1)
对于方法2：
P(1)=0
P(2)=2
P(n)=(n-1)+n*P(n-1)=(n-1)+(n-2)+n*(n-1)*P(n-2)=…=(n-1)+(n-2)+…+2+n*(n-1)*…*3*P(2)
=(n+1)*(n-2)/2+n! （n>=3）
可以都写成P(n)= (n+1)*(n-2)/2+n!
M(1)=0
M(2)=2
M(n)=n+n*M(n-1)=n+(n-1)+n*(n-1)*M(n-2)=…=n+(n-1)+…+3+n*(n-1)*…*3*P(2)=
=(n+3)*(n-2)/2+n! （n>=3）
方法1相比方法2乘法操作次数多了大概(n-1)倍，是因为
如和
，除了前面两个数，其它数的乘积都一样，但是方法1对于
的乘积重复计算。
而方法2的乘法操作次数仍然很多，是因为如和
，方法2对
的乘积重复计算。
方法1通过全排列优化后：
序列从小到大排序，编号为1~n！。编号为(t+1)[t=1~n!-1]的序列，当最大能被r！整除时，需要修改的长度为r+1，寻找j需要r+1次，寻找k需要1,2,3,…,r次，然后a[j]和a[k]进行交换，a[n-r]~a[n]修改顺序，共进行（temp=x,x=y,y=temp）3*(1+(r+1)/2)次赋值语句操作。
当r=n,n-1,…,1时
total=n*1+(n-1)*[n-1]+(n-2)*[n*(n-1)-n]+(n-3)*[n*(n-1)*(n-2)-n*(n-1)]+…+
???
12345
12354
12435
12453
12534
12543
13245
方法3：
化简为上三角行列式
并对所有对角线的数进行相乘得到方阵的值。
对于每列i化简：从行i开始，往下找，直到第j行a[j][i]<>0，然后行i和行j进行交换(如果i<>j)，然后行i+1~行n通过对行i加/减某个倍数，使得a[k][i]=0。每列i化简最多对(n-i)行进行了处理，时间复杂度为O(n*n)。
总的时间复杂度：O(n^3)
Code：
1.求方阵面积_n阶行列式的定义
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 //原来O(n!) 5 //优化： 6 //效率不高，但所用方法很巧妙 7 //n=10 10!=3628800 8 9 int main() 10 { 11 long n,i,j,k,p,g,temp,x,y,a[20]; 12 double mat[20][20],c[20],ans; 13 scanf("%ld",&n); 14 //posibility 15 p=1; 16 for (i=2;i<=n;i++) 17 p=p*i; 18 for (i=1;i<=n;i++) 19 for (j=1;j<=n;j++) 20 scanf("%lf",&mat[i][j]); 21 c[0]=1.0; 22 for (i=1;i<=n;i++) 23 { 24 a[i]=i; 25 c[i]=c[i-1]*mat[i][i]; 26 } 27 ans=c[n]; 28 g=0; 29 for (i=1;i<p;i++) 30 { 31 //4 8 7 6 5 3 2 1 32 //5 8 7 6 4 3 2 1 33 //5 1 2 3 4 6 7 8 34 35 //从尾到头，找到第一个下降的a[j] 36 for (j=n-1;j>=1;j--) 37 if (a[j]<a[j+1]) 38 break; 39 //a[j]：从尾到a[j],找到第一个比a[j]大的数a[k] 40 for (k=n;k>j;k--) 41 if (a[k]>a[j]) 42 break; 43 //交换a[j]和a[k]的值 44 temp=a[j]; 45 a[j]=a[k]; 46 a[k]=temp; 47 //数组：j+1~n reverse 48 x=j+1; 49 y=n; 50 while (x<y) 51 { 52 temp=a[x]; 53 a[x]=a[y]; 54 a[y]=temp; 55 x++; 56 y--; 57 } 58 //1~j-1:not change 59 for (k=j;k<=n;k++) 60 c[k]=c[k-1]*mat[k][a[k]]; 61 g=g-(n-j-1)*(n-j)/2+1; 62 //逆序对的数目跟上一次的差距 63 //原来j+1~n降序，a[j+1]~a[n]中逆序对的数目为(n-j-1)*(n-j)/2 64 //现在j+1~n升序，a[j]在a[j]~a[n]的大小排名上升了一位,即第j位所在的数的逆序对的个数增加了1 65 if (g%2==0) 66 ans+=c[n]; 67 else 68 ans-=c[n]; 69 } 70 if (fabs(ans)<0.000001) 71 printf("%.2lf",0.0); 72 else 73 printf("%.2lf",ans); 74 return 0; 75 } 76 /* 77 Input: 78 4 79 2 -1 0 3 80 -3 1 2 2 81 1 0 -2 -1 82 -4 3 2 2 83 Output: 84 24.00 85 86 Input: 87 3 88 1 2 3 89 2 3 4 90 3 4 5 91 Output: 92 0.00 93 94 Input: 95 2 96 1 2 97 2 1 98 Output: 99 -3.00 100 */
2.求方阵面积_化简为上三角行列式
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #define minv 0.000001 4 #define maxn 100 5 6 int main() 7 { 8 long n,i,j,k,l; 9 double s,result=1.0; 10 double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1)); 11 for (i=1;i<=maxn;i++) 12 matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1)); 13 scanf("%ld",&n); 14 for (i=1;i<=n;i++) 15 for (j=1;j<=n;j++) 16 scanf("%lf",&matrix[i][j]); 17 //使第i列的主元下方的值变为0 18 for (i=1;i<=n;i++) 19 { 20 j=i; 21 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv) 22 j++; 23 //最后化简的上三角行列式有一个数为0，则矩阵的值为0 24 if (j==n+1) 25 { 26 printf("0.00\n"); 27 return 0; 28 } 29 //交换两行位置，值取反 30 if (i!=j) 31 { 32 result*=-1.0; 33 //第i行和第j行进行交换(交换第i~n列的数即可) 34 for (k=i;k<=n;k++) 35 { 36 s=matrix[i][k]; 37 matrix[i][k]=matrix[j][k]; 38 matrix[j][k]=s; 39 } 40 } 41 //对第j+1行~第n行进行处理(第i+1行到第j行a[][i]的值都为0) 42 //(第t行减去第i行的matrix[j][i]/matrix[i][i]倍，使matrix[j][i]=0) 43 for (k=j+1;k<=n;k++) 44 { 45 s=-matrix[k][i]/matrix[i][i]; 46 matrix[k][i]=0; 47 //(修改第i+1~n列的数即可) 48 for (l=i+1;l<=n;l++) 49 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l]; 50 } 51 } 52 for (i=1;i<=n;i++) 53 result*=matrix[i][i]; 54 if (fabs(result)<0.000001) 55 printf("%.2lf",0.0); 56 else 57 printf("%.2lf",result); 58 59 return 0; 60 } 61 /* 62 Input: 63 4 64 2 -1 0 3 65 -3 1 2 2 66 1 0 -2 -1 67 -4 3 2 2 68 Output: 69 24.00 70 71 Input: 72 3 73 1 2 3 74 2 3 4 75 3 4 5 76 Output: 77 0.00 78 79 Input: 80 2 81 1 2 82 2 1 83 Output: 84 -3.00 85 */
3.行简化行列式
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <math.h> 4 #define maxn 100 5 #define minv 0.000001 6 7 int main() 8 { 9 long n,m,i,j,k,l,pos; 10 double s; 11 double matrix[100][100]; 12 // double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1)); 13 // for (i=1;i<=maxn;i++) 14 // matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1)); 15 scanf("%ld%ld",&n,&m); 16 for (i=1;i<=n;i++) 17 for (j=1;j<=m;j++) 18 scanf("%lf",&matrix[i][j]); 19 20 pos=1; 21 //使第i列的主元下方的值变为0 22 for (i=1;i<=m;i++) 23 { 24 j=pos; 25 //从第pos行开始 26 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv) 27 j++; 28 //从第pos行开始，第i列的值全为0，不用简化 29 if (j==n+1) 30 continue; 31 if (pos!=j) 32 //第pos行和第j行进行交换(交换第i~m列的数即可) 33 for (k=i;k<=m;k++) 34 { 35 s=matrix[pos][k]; 36 matrix[pos][k]=matrix[j][k]; 37 matrix[j][k]=s; 38 } 39 //对第pos+1行~第n行进行处理 40 //(第t行减去第pos行的matrix[j][i]/matrix[pos][i]倍，使matrix[j][i]=0) 41 for (j=pos+1;j<=n;j++) 42 { 43 s=-matrix[j][i]/matrix[pos][i]; 44 matrix[j][i]=0; 45 //(修改第i+1~m列的数即可) 46 for (k=i+1;k<=m;k++) 47 matrix[j][k]+=s*matrix[pos][k]; 48 } 49 //若从第pos行开始，第i列的值全为0，则从下一行开始 50 pos++; 51 } 52 53 printf("\n"); 54 printf("行阶梯型矩阵：\n"); 55 for (i=1;i<=n;i++) 56 { 57 for (j=1;j<=m;j++) 58 if (fabs(matrix[i][j])<minv) 59 //左边的数5代表数输出5位，若位数不够则以空格填充 60 //右边的数2代表数保留2位小数 61 printf("%5.2lf ",0.0); 62 else 63 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]); 64 printf("\n"); 65 } 66 //第pos行~第n行的值全部为0，矩阵的秩为pos-1 67 //对第pos-1行~第1行的内容进行修改 68 for (i=pos-1;i>=1;i--) 69 { 70 for (j=1;j<=m;j++) 71 //(i,j)即该行的第一个非零数，为主元 72 if (fabs(matrix[i][j])>minv) 73 break; 74 s=matrix[i][j]; 75 //把主元的值变为1，该行的数都除以matrix[i][j] 76 for (k=j;k<=m;k++) 77 matrix[i][k]/=s; 78 //对第1行~第i-1行进行处理 79 for (k=1;k<i;k++) 80 { 81 s=-matrix[k][j]; 82 matrix[k][j]=0; 83 //(修改第j+1~m列的数即可) 84 for (l=j+1;l<=m;l++) 85 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l]; 86 } 87 } 88 printf("\n"); 89 printf("行简化阶梯型矩阵：\n"); 90 for (i=1;i<=n;i++) 91 { 92 for (j=1;j<=m;j++) 93 if (fabs(matrix[i][j])<minv) 94 //左边的数5代表数输出5位，若位数不够则以空格填充 95 //右边的数2代表数保留2位小数 96 printf("%5.2lf ",0.0); 97 else 98 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]); 99 printf("\n"); 100 } 101 return 0; 102 } 103 /* 104 Input1: 105 3 4 106 1 2 1 3 107 0 0 0 0 108 0 0 0 1 109 Output: 110 行阶梯型矩阵： 111 1.00 2.00 1.00 3.00 112 0.00 0.00 0.00 1.00 113 0.00 0.00 0.00 0.00 114 115 行简化阶梯型矩阵： 116 1.00 2.00 1.00 0.00 117 0.00 0.00 0.00 1.00 118 0.00 0.00 0.00 0.00 119 120 Input2: 121 3 4 122 0 1 -1 2 123 0 0 1 -1 124 0 0 2 1 125 Output: 126 行阶梯型矩阵： 127 0.00 1.00 -1.00 2.00 128 0.00 0.00 1.00 -1.00 129 0.00 0.00 0.00 3.00 130 131 行简化阶梯型矩阵： 132 0.00 1.00 0.00 0.00 133 0.00 0.00 1.00 0.00 134 0.00 0.00 0.00 1.00 135 136 Input3: 137 3 3 138 1 2 1 139 2 1 1 140 0 0 0 141 Output: 142 行阶梯型矩阵： 143 1.00 2.00 1.00 144 0.00 -3.00 -1.00 145 0.00 0.00 0.00 146 147 行简化阶梯型矩阵： 148 1.00 0.00 0.33 149 0.00 1.00 0.33 150 0.00 0.00 0.00 151 152 Input4: 153 5 6 154 1 2 0 3 2 5 155 -1 1 -3 3 4 7 156 0 -2 2 -4 1 -3 157 2 0 4 -2 0 -2 158 1 0 2 -1 1 0 159 Output: 160 行阶梯型矩阵： 161 1.00 2.00 0.00 3.00 2.00 5.00 162 0.00 3.00 -3.00 6.00 6.00 12.00 163 0.00 0.00 0.00 0.00 5.00 5.00 164 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 165 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 166 167 行简化阶梯型矩阵： 168 1.00 0.00 2.00 -1.00 0.00 -1.00 169 0.00 1.00 -1.00 2.00 0.00 2.00 170 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 171 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 172 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00*/
方阵求值——上三角行列式、定义(康拓展开求值)
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