对于上次说的LSA模型，它能解决多个单词一个意义，但是不能解决多个意义一个单词，就是多义词的问题，而PLSA模型能较好的解决这个问题，首先说下，这个模型的假设：

1 假设生成一个单词的过程是这样的：首先选择一篇文章di，然后再次基础上选择一个潜变量zk(可以理解为主题),最后在此基础上再在生成一个单词。如果p(di,wj)表示第i个文本中有第j个单词的概率，根据假设有：

2 另外一个非常重要的假设是，单词wj和文本di是基于潜变量条件独立的，即：

与LSA模型相似，我们首先得到了一个加权词频矩阵(如TF/IDF),接下来可以写出似然函数如下：

其中n(di,wj)表示这个词频矩阵(i,j)的元素值,且对于p(di)这一部分，求和后为常数，可以将其省去(省去后我还是写成L)，不影响求最大值。

继续推导：

接下来开始EM推导!

,

这里Pij(zk)表示第j个单词是由第i篇文档通过zk这个潜在变量生成的概率，根据上一篇文章所说的性质，有：

然后根据等号取到的条件，有：

我觉得有必要说明的一点是，对于任意的i,j,k这个式子的结果都是一个常数c，但是并不是说对于任意i,j,k,这个c是相同的，所以这里不能提取出常数c，但是无论c是多少，下面的步骤都是可以的。

并且分子分母都按照sigma zk求和，有：

和之前一样有分子等于1，那么分母等于c，将分母代回上面那个式子，得到：

这里说下我遇到的一个困惑，我当初看的那篇论文中，并没有按照EM推导的步骤，而是不知道通过什么途径(我没看懂)得到了Pij(zk)=P(zk/wi,dj),然后利用贝叶斯公式和条件独立的假设，得到：

分子分母约掉p(di)就得到了和Pij(zk)相同的结果，这里略为困惑，不过好在结果是一样的。

最终的结果为:

接下来就是开始EM算法的迭代了：

E步：随机选取(初始情况下)或者由上一步M得到参数p(zk/di)(总共K*N个),p(wj/zk)(总共K*M个)，计算出p(zk/wi,dj)。

M步： p(zk/wi,dj)由p(zk/di)和p(wj/zk)替代后，求L的最大值，它是以p(zk/di)，p(wj/zk)为参数的，且p(zk/di)，p(wj/zk)符合这一定的限制条件,有：

这个问题可以用拉格朗日乘子法求解，求解过程非常复杂，结果如下：

E步和M步交替执行，直到收敛。

收敛后我们可以用得到的两个概率矩阵进行一些比如文本聚类，单词聚类等处理。

PLSA(Probabilistic Latent Semantic Analysis)模型