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【BZOJ3640】JC的小苹果 概率DP+高斯消元
【BZOJ3640】JC的小苹果
Description
让我们继续JC和DZY的故事。
“你是我的小丫小苹果，怎么爱你都不嫌多！”
“点亮我生命的火，火火火火火！”
话说JC历经艰辛来到了城市B，但是由于他的疏忽DZY偷走了他的小苹果！没有小苹果怎么听歌！他发现邪恶的DZY把他的小苹果藏在了一个迷宫里。JC在经历了之前的战斗后他还剩下hp点血。开始JC在1号点，他的小苹果在N号点。DZY在一些点里放了怪兽。当JC每次遇到位置在i的怪兽时他会损失Ai点血。当JC的血小于等于0时他就会被自动弹出迷宫并且再也无法进入。
但是JC迷路了，他每次只能从当前所在点出发等概率的选择一条道路走。所有道路都是双向的，一共有m条，怪兽无法被杀死。现在JC想知道他找到他的小苹果的概率。
P.S.大家都知道这个系列是提高组模拟赛，所以这是一道送分题balabala
Input
第一行三个整数表示n，m，hp。接下来一行整数，第i个表示jc到第i个点要损失的血量。保证第1个和n个数为0。接下来m行每行两个整数a，b表示ab间有一条无向边。
Output
仅一行，表示JC找到他的小苹果的期望概率，保留八位小数。
Sample Input
0 1 0
1 2
1 3
2 3
Sample Output
HINT
对于100%的数据 2<=n<=150，hp<=10000，m<=5000，保证图联通。
题解：如果没有Ai=0，直接DP，如果hp很小，直接高斯消元，但是都有，所以用DP+高斯消元。
发现，方程组中只有Ai=0的点有系数，Ai！=0的都可以直接拿过来变成常数项，所以每次我们的方程组只有一列是变化的，所以我们将方程组表示成Ax=b，x=A-1b。x和b都是列向量。所以我们只需要预处理出A的逆，然后每次O（n2）乘一下就行了。
矩阵求逆的方法：先将(A|I)拼一起，然后通过行变换将左边的A消成I，右边剩下的就是A-1。
#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int n,m,hp;int dam[160],pa[5010],pb[5010],d[160];double f[160][10000],B[160],ans;struct M{ double v[160][160]; M (){memset(v,0,sizeof(v));} double* operator [](int x) {return v[x];} void I() { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) v[i][j]=(i==j)?1:0; } M getinv() { int i,j,k; M re; double t; re.I(); for(i=1;i<=n;i++) { for(j=i;j<=n;j++) if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i])) for(k=1;k<=n;k++) swap(v[i][k],v[j][k]),swap(re[i][k],re[j][k]); t=v[i][i]; for(j=1;j<=n;j++) v[i][j]/=t,re[i][j]/=t; for(j=1;j<=n;j++) if(i!=j) { t=v[j][i]; for(k=1;k<=n;k++) v[j][k]-=t*v[i][k],re[j][k]-=t*re[i][k]; } } return re; } void operator * (int x) { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[i][x]+=v[i][j]*B[j]; }};M A,A1;int rd(){ int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<‘0‘||gc>‘9‘) {if(gc==‘-‘)f=-f; gc=getchar();} while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘) ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar(); return ret*f;}int main(){ n=rd(),m=rd(),hp=rd(); int i,j; for(i=1;i<=n;i++) dam[i]=rd(); for(i=1;i<=m;i++) { pa[i]=rd(),pb[i]=rd(); d[pa[i]]++; if(pa[i]!=pb[i]) d[pb[i]]++; } for(i=1;i<=m;i++) { if(!dam[pb[i]]) A[pb[i]][pa[i]]-=1.0/d[pa[i]]; if(pa[i]==pb[i]) continue; if(!dam[pa[i]]) A[pa[i]][pb[i]]-=1.0/d[pb[i]]; } for(i=1;i<=n;i++) A[i][n]=0; for(i=1;i<=n;i++) A[i][i]++; A1=A.getinv(); for(j=hp;j;j--) { for(i=1;i<=n;i++) B[i]=0; if(j==hp) B[1]=1; else for(i=1;i<=m;i++) { if(dam[pb[i]]&&dam[pb[i]]+j<=hp&&pa[i]!=n) B[pb[i]]+=f[pa[i]][j+dam[pb[i]]]*1.0/d[pa[i]]; if(pa[i]==pb[i]) continue; if(dam[pa[i]]&&dam[pa[i]]+j<=hp&&pb[i]!=n) B[pa[i]]+=f[pb[i]][j+dam[pa[i]]]*1.0/d[pb[i]]; } A1*j,ans+=f[n][j]; } printf("%.8lf",ans); return 0;}
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