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【BZOJ3143】[Hnoi2013]游走 期望DP+高斯消元

【BZOJ3143】[Hnoi2013]游走

Description

一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。 
现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M,分别表示该图的顶点数 和边数,接下来M行每行是整数u,v(1≤u,v≤N),表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10,100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数,表示最小的期望值,保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1,边(1,3)编号2,边(2,3)编号为3。

题解:一个清晰的思路:我们如果能求出每条边期望被经过的次数,然后排个序,让期望次数越大的边的编号越小就行了。但是问题来了,点数500,边数?????,以边为变量跑高斯消元显然会TLE,那么我们只能以点为变量跑高斯消元。那么如何用点的期望表示边的期望呢?其实很简单,设边(a,b),点a的期望被经过次数是f[a],点b的是f[b],a的度数是d[a],b的是d[b],那么这条边的期望被经过次数显然是${f[a]\over d[a]}+{f[b]\over d[b]}$。

然后就是老办法了,如果存在边(a,b),那就f[a]+=f[b]/d[b],处理出来再移项即可,直接上高斯消元。

别忘了f[n]=1,f[1]要+1(因为是起始点)

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;typedef long double ld;int n,m;int pa[130000],pb[130000],d[510];ld pc[130000],v[510][510],ans;void add(int a,int b){	if(a==n)	return ;	v[b][a]-=(ld)1/d[a];}int main(){	scanf("%d%d",&n,&m);	int i,j,k;	for(i=1;i<=m;i++)	scanf("%d%d",&pa[i],&pb[i]),d[pa[i]]++,d[pb[i]]++;	for(i=1;i<=m;i++)	add(pa[i],pb[i]),add(pb[i],pa[i]);	for(i=1;i<=n;i++)	v[i][i]+=1;	for(i=1;i<=n+1;i++)	v[n][i]=0;	v[n][n]=v[n][n+1]=1,v[1][n+1]+=1;	for(i=1;i<=n;i++)	{		for(j=i+1;j<=n;j++)	if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i]))	for(k=i;k<=n+1;k++)	swap(v[i][k],v[j][k]);		if(fabs(v[i][i])<1e-7)	continue;		for(j=n+1;j>=i;j--)	v[i][j]/=v[i][i];		for(j=1;j<=n;j++)	if(i!=j)		{			for(k=1;k<=n+1;k++)	if(i!=k)	v[j][k]-=v[j][i]*v[i][k];			v[j][i]=0;		}	}	for(i=1;i<=m;i++)	{		if(pa[i]!=n&&fabs(v[pa[i]][pa[i]])>1e-7)	pc[i]+=v[pa[i]][n+1]/d[pa[i]];		if(pb[i]!=n&&fabs(v[pb[i]][pb[i]])>1e-7)	pc[i]+=v[pb[i]][n+1]/d[pb[i]];	}	sort(pc+1,pc+m+1);	for(i=1;i<=m;i++)	ans+=(m-i+1)*pc[i];	printf("%.3lf",(double)ans);	return 0;}

 

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