回归分析是研究变量之间定量关系的一种统计学方法，具有广泛的应用。

Logistic回归模型

线性回归

先从线性回归模型开始，线性回归是最基本的回归模型，它使用线性函数描述两个变量之间的关系，将连续或离散的自变量映射到连续的实数域。

模型数学形式：

引入损失函数（loss function，也称为错误函数）描述模型拟合程度:

使J(w)最小，求解优化问题得到最佳参数。

Logistic回归

logistic回归(Logistic regression 或 logit regression)有时也被译为"逻辑回归"，不过它和"逻辑"并没有太大关系应该只是音译。从内容来讲，它最合适的名字应该是logit回归。

logistic回归模型更多的被用于概率分类器中。线性回归将自变量映射到连续的实数，在很多情况下因变量的取值是在有限的区间中的，最常见的如概率问题的0-1区间。

Sigmod函数提供了一个从实数域到(0,1)的映射：

该函数如图：

以数学形式给出把线性模型映射到0-1的方式：

逆变换：

这个变换被称为logit变换，或许就是该模型名字的来源。

logistic回归通常被用做概率分类器，以p=0.5作为分解线。

求解规划模型

最小二乘法

最小二乘法通过数学推导得到全局最优解的表达式，是一种完全数学描述的方法，直接给出求解公式。

最小二乘法可以得到全局最优解，但是因涉及超大矩阵的求逆运算而难以求解。

梯度下降（上升）法:

梯度下降法是一种典型的贪心算法，它从任意一组参数开始，向着使目标函数最小的方向调整参数，直至无法使目标函数继续下降时，停止计算。

多元函数微积分中, 梯度指向函数值变化最快方向的向量. 梯度下降法无法保证的得到全局最优解

梯度下降法有批量梯度下降法和随机梯度下降法两种实现方法。

批量梯度下降（上升）法（Batch Gradient Descent/Ascent）

批量梯度下降法的算法流程：

初始化回归系数为1
重复执行直至收敛 ｛
    计算整个数据集的梯度
    按照递推公式更新回归梯度
｝
返回最优回归系数值

将损失函数J(w)求偏导，得到J(w)的梯度。以矩阵形式给出：

alpha是下降步长，由迭代公式：

随机梯度下降（上升）法（stochastic gradient Descent/Ascent）

随机梯度下降法的算法流程:

初始化回归系数为1
重复执行直至收敛 ｛
    对每一个训练样本｛
        计算样本的梯度
        按照递推公式更新回归梯度
    ｝
｝
返回最优回归系数值

为了加快收敛速度，做出两个改进：

(1)在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小

(2)每次迭代改变样本的顺序,也就是随机选择样本来更新回归系数

Logistic 回归的实现

训练数据testSet.txt,包含m行n+1列：

m行代表m条数据，每条数据前n列代表n个样本，第n+1列代表分类标签(0或1)。

Python:

分类器被封装在类中：

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt

def sigmoid(X):
       return 1.0/(1+exp(-X))

class logRegressClassifier(object):
    
    def __init__(self):
        self.dataMat = list()
        self.labelMat = list()
        self.weights = list()

    def loadDataSet(self, filename):
        fr = open(filename)
        for line in fr.readlines():
            lineArr = line.strip().split()
            dataLine = [1.0]
            for i in lineArr:
                dataLine.append(float(i))
            label = dataLine.pop() # pop the last column referring to  label
            self.dataMat.append(dataLine)
            self.labelMat.append(int(label))
        self.dataMat = mat(self.dataMat)
        self.labelMat = mat(self.labelMat).transpose()
    
    def train(self):
        self.weights = self.stocGradAscent1()

    def batchGradAscent(self):
        m,n = shape(self.dataMat)
        alpha = 0.001
        maxCycles = 500
        weights = ones((n,1))
        for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
            h = sigmoid(self.dataMat * weights)     #matrix mult
            error = (self.labelMat - h)              #vector subtraction
            weights += alpha * self.dataMat.transpose() * error #matrix mult
        return weights

    def stocGradAscent1(self):
        m,n = shape(self.dataMat)
        alpha = 0.01
        weights = ones((n,1))   #initialize to all ones
        for i in range(m):
            h = sigmoid(sum(self.dataMat[i] * weights))
            error = self.labelMat[i] - h
            weights += (alpha * error * self.dataMat[i]).transpose()
        return weights

    def stocGradAscent2(self): 
        numIter = 2
        m,n = shape(self.dataMat)
        weights = ones((n,1))   #initialize to all ones
        for j in range(numIter):
            dataIndex = range(m)
            for i in range(m):
                alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not 
                randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
                h = sigmoid( sum(self.dataMat[randIndex] * weights) )
                error = self.labelMat[randIndex] - h
                weights += (alpha * error * self.dataMat[randIndex]).transpose()
                del(dataIndex[randIndex])
        return weights

    def classify(self, X):
        prob = sigmoid(sum( X * self.weights))
        if prob > 0.5:
            return 1.0
        else: 
            return 0.0

    def test(self):
        self.loadDataSet(‘testData.dat‘)
        weights0 = self.batchGradAscent()
        weights1 = self.stocGradAscent1()
        weights2 = self.stocGradAscent2()
        print(‘batchGradAscent:‘, weights0)
        print(‘stocGradAscent0:‘, weights1)
        print(‘stocGradAscent1:‘, weights2)

if __name__ == ‘__main__‘:
    lr = logRegressClassifier()
    lr.test()

Matlab

上述Python代码用Matlab实现并不难(只是需要拆掉类封装)，只是Matlab的广义线性模型工具箱提供了Logistic模型的实现。

trainData = http://www.mamicode.com/[0 1; -1 0; 2 2; 3 3; -2 -1;-4.5 -4; 2 -1; -1 -3];>