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[ACM] sdut 2878 Circle (高斯消元）

2024-08-04 21:05:49   219人阅读

Circle

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题目描述

You have been given a circle from 0 to n?-?1. If you are currently at x, you will move to (x?-?1) mod n or (x?+?1) mod n with equal probability. Now we want to know the expected number of steps you need to reach x from 0.

输入

The first line contains one integer T — the number of test cases.
 
Each of the next T lines contains two integers n,?x (0??≤?x?<?n?≤?1000) as we mention above.

输出

For each test case. Print a single float number — the expected number of steps you need to reach x from 0. The figure is accurate to 4 decimal places.

示例输入

3
3 2
5 4
10 5

示例输出

2.0000
4.0000
25.0000

提示

 

来源

2014年山东省第五届ACM大学生程序设计竞赛


解题思路：

题意为n个节点编号0到n-1，成一个环形，给定一个数x，求从0号节点走到x节点的期望步数是多少。节点向两边走的概率相同，每一步走一个节点。

高斯消元,n个方程，n个未知量, 设E[ p ] 为从p节点走到x节点还需要走的步数的期望数。那么E [ x ] =0;

对于每个节点都有   E[p]=0.5*E[p-1]+0.5*E[p+1]+1,  即  -0.5*E[p-1]+E[p]-0.5*E[p+1]=1。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
using namespace std;

///浮点型高斯消元模板
const double eps=1e-12;
const int maxm=1000;///m个方程，n个变量
const int maxn=1000;
int m,n;
double a[maxm][maxn+1];///增广矩阵
bool free_x[maxn];///判断是否是不确定的变元
double x[maxn];///解集

int sign(double x)
{
    return (x>eps)-(x<-eps);
}
/**返回值：
-1 无解
0 有且仅有一个解
>=1 有多个解，根据free_x判断哪些是不确定的解
*/
int Gauss()
{
    int i,j;
    int row,col,max_r;
    m=n;///n个方程，n个变量的那种情况
    for(row=0,col=0;row<m&&col<n;row++,col++)
    {
        max_r=row;
        for(i=row+1;i<m;i++)///找到当前列所有行中的最大值(做除法时减小误差)
        {
            if(sign(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)
                max_r=i;
        }
        if(max_r!=row)
        {
            for(j=row;j<n+1;j++)
                swap(a[max_r][j],a[row][j]);
        }
        if(sign(a[row][col])==0)///当前列row行以下全为0(包括row行)
        {
            row--;
            continue;
        }
        for(i=row+1;i<m;i++)
        {
            if(sign(a[i][col])==0)
                continue;
            double tmp=a[i][col]/a[row][col];
            for(j=col;j<n+1;j++)
                a[i][j]-=a[row][j]*tmp;
        }
    }
    for(i=row;i<m;i++)///col=n存在0...0,a的情况,无解
    {
        if(sign(a[i][col]))
            return -1;
    }
    if(row<n)///存在0...0,0的情况,有多个解,自由变元个数为n-row个
    {
        for(i=row-1;i>=0;i--)
        {
            int free_num=0;///自由变元的个数
            int free_index;///自由变元的序号
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(sign(a[i][j])!=0&&free_x[j])
                    free_num++,free_index=j;
            }
            if(free_num>1)
                continue;///该行中的不确定的变元的个数超过1个,无法求解,它们仍然为不确定的变元
        ///只有一个不确定的变元free_index,可以求解出该变元,且该变元是确定的
            double tmp=a[i][n];
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(sign(a[i][j])!=0&&j!=free_index)
                    tmp-=a[i][j]*x[j];
            }
            x[free_index]=tmp/a[i][free_index];
            free_x[free_index]=false;
        }
        return n-row;
    }
    ///有且仅有一个解,严格的上三角矩阵(n==m)
    for(i=n-1;i>=0;i--)
    {
        double tmp=a[i][n];
        for(j=i+1;j<n;j++)
        if(sign(a[i][j])!=0)
            tmp-=a[i][j]*x[j];
                x[i]=tmp/a[i][i];
    }
    return 0;
}///模板结束

int t,xx;

int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>xx;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(i==xx)
            {
                a[i][i]=1;
                a[i][n]=0;
                continue;
            }
            a[i][i]=1;
            a[i][n]=1;
            a[i][(i-1+n)%n]=-0.5;
            a[i][(i+1)%n]=-0.5;
        }
        Gauss();
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<x[0]<<endl;
    }
    return 0;
}


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