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Manachar算法详解
求解最长回文串之Manachar算法
问题类型:
输入一个字符串,求出其中最大的回文子串。子串的含义是:在原串中连续出现的字符串片段。
回文的含义是:正着看和倒着看相同,如abba和yyxyy。
这类问题对于一些小数据可以暴力枚举回文的中心点求解(处理好奇数和偶数长度的回文即可) 但是时间复杂度较高
利用manachar算法可以在O(n)时间内得到正确的答案
算法基本要点:
首先用一个非常巧妙的方式,将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度:
在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#, aba变成 #a#b#a#。
为了进一步减少编码的复杂度,可以在字符串的开始加入另一个特殊 字符,这样就不用特殊处理越界问题,比如$#a#b#a#。
下面以字符串12212321为例,经过上一步,变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度(包括S[i]),比如S和P的对应关系:
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度)
如何得到p数组嘞?
下面计算P[i],该算法增加两个辅助变量id和mx,其中id表示最大回文子串中心的位置,mx则为id+P[id],也就是最大回文子串的边界。
这个算法的关键点就在这里了:如果mx > i,那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。
“庖丁解牛”:
当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有 P[i] = P[j],见下图。
当 P[j] > mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能一个一个匹配了。
对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了
下面给出原文,进一步解释算法为线性的原因
if(mx > i) p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));else p[i] = 1;
下面以hdu 3068 最长回文 这道题为例 给大家看下manachar算法的具体应用
最长回文
Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
回文就是正反读都是一样的字符串,如aba, abba等
两组case之间由空行隔开(该空行不用处理)
字符串长度len <= 110000
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 char s[110010],s1[220020]; 7 int p[220020]; 8 int manachar() 9 {10 int i,j = 0;11 s1[j ++] = ‘@‘; s1[j ++] = ‘#‘;12 for (i = 0; s[i]; i ++) // 预处理字符串 13 {14 s1[j ++] = s[i];15 s1[j ++] = ‘#‘;16 } s1[j] = ‘\0‘;17 18 int id = 0, mx = 0, len = 0;19 for (i = 1; i < j; i ++)20 {21 if (i < mx) p[i] = min(mx-i,p[2*id-i]); 22 else p[i] = 1;23 while (s1[i+p[i]] == s1[i-p[i]]) p[i] ++; // 更新p[i]的值(回文的长度) 24 if (i+p[i] > mx){25 id = i; // 更新回文的中心点 26 mx = id+p[i];27 }28 len = max(len,p[i]); // 最长回文串的长度 29 }30 return len;31 }32 int main ()33 {34 while (~scanf("%s",s))35 {36 int len = manachar();37 printf("%d\n",len-1);38 }39 return 0;40 }
本文参考:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/10/04/2711527.html
Manachar算法详解