又看了一次EM 算法，还有高斯混合模型，最大似然估计

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又看了一次EM 算法，还有高斯混合模型，最大似然估计

2024-08-05 05:12:27 224人阅读

先列明材料：

高斯混合模型的推导计算（英文版）：

http://www.seanborman.com/publications/EM_algorithm.pdf

这位翻译写成中文版：

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html

高斯混合模型的流程：

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006924.html

最大似然估计：

http://blog.csdn.net/yanqingan/article/details/6125812

一个高斯混合模型（GMM）包含多个一维的高斯分布（GM），按例子来说，如果班级上同学的性别是知道的，身高也是知道的，那么对班级同学构建的GMM 可以这样，GM 的个数取2，分别表示男生身高高斯分布和女生的身高高斯分布，首先通过男生女生来划分单个 GM 的权重，即男生\女生占班的比重，然后男生的身高数据计算出高斯分布，女生的也是，这样就构建好一个GMM 了。

当然上面的例子是理想化的计算，假如对一组样本 n-by-d 进行聚类，n 表示样本数，d 表示样本的维度。

对一个GMM 的训练通过EM 和最大似然估计计算，需要确定的是 GMM 中各GM 的权重w，和各GM 里面样本均值 u 和协方差矩阵 ∑ （d-by-d matrix），即GM 分布的两个参数。同属一个GM 的样本就是同一个类，所以多少类变有多少个GM.

　　通过最大似然估计作为GMM 训练的结束判断，最大似然估计根据 X 在GMM 分布中的期望作为判断（这句话不准确，看上面GMM推导）.

m-step:

进入M-step，将Q 看作已知（固定了Q），即固定了样本属于哪个GM，间接获取到了w，然后通过更新各GM 中的 u、∑。

e-step

　　M-step 结束后通过新的u、∑，更新样本的归宿，例如i-th 样本，计算他再属于各个GM 的概率，取最高值的index，这样更新了类标号，将[]看左常量(固定了部分的参数)，则该期望主要影响是Q，那么判断上一步与当前步的loglikelihood 便可以做出结束判断（小于一个阀值收敛），这就是EM 中的E-step.

算法流程：

初始化：

可以随机初始化样本点的类标号（多少类k值需要指明），也可以指派类标号。

Maximization：

最大化步骤，对于已经有的类标号（初始化得到后者迭代更新得到），构建或更新 k 个GM，对于每个GM 有各自的权重w,样本均值u 协方差矩阵∑。

计算公式：

权重公式如下，j 表示 j-th 个GM，m 为样本个数，即上面的n，之所以这里出现了φ 与w，是固定一部分更新另一部分的，w 位e-step 的更新值。